на окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ=120°. Длина меньшей дуги АВ равна 67. Найдите длину большей дуги

Рассмотрим задачу: на окружности с центром O отмечены точки A и B, угол ∠AOB = 120°, длина меньшей дуги AB равна 67. Нужно найти длину большей дуги AB.

Обозначим:

• длина меньшей дуги AB — \( s_{меньшая} = 67 \)
• длина большей дуги AB — \( s_{большая} \) (это наш искомый ответ)
• радиус окружности — \( R \)

Шаг 1. Связь между длиной дуги и центральным углом
Длина дуги равна произведению радиуса на радианный угол, соответствующий дуге: \[ s = R \times \theta \] где \( \theta \) — центральный угол в радианах.

Шаг 2. Определение радианной меры дуг и угла
Обозначим радианное значение угла \(\angle AOB = 120^\circ\): \[ \theta_{120^\circ} = \frac{120^\circ \times \pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3} \]

Поскольку дуги и углы связаны пропорционально, то:

• меньшая дуга \( s_{меньшая} \) соответствует меньшей части угла, равной \( 120^\circ \), а большая дуга — другой части этого же угла (именно 120°, так как сумма дуг по окружности равна 360°).

Шаг 3. Разделение дуг по углу
Общая дуга окружности: 360°, то есть полный круг.

Дуги A и B разделены на две части, соответствующие двум дугам:

• меньшая дуга: \( s_{меньшая} = R \times \frac{120^\circ \times \pi}{180^\circ} = R \times \frac{2\pi}{3} \)

Из условия: \( s_{меньшая} = 67 \):

\[ 67 = R \times \frac{2\pi}{3} \Rightarrow R = \frac{67 \times 3}{2\pi} = \frac{201}{2\pi} \]

Шаг 4. Находим длину большей дуги
Полный круг:
\[ s_{полный} = 2 \pi R \]

Длина меньшей дуги: \[ s_{меньшая} = R \times \frac{120^\circ \times \pi}{180^\circ} = R \times \frac{2\pi}{3} \]

Длина большей дуги — это оставшаяся часть окружности: \[ s_{большая} = s_{полный} - s_{меньшая} = 2 \pi R - R \times \frac{2\pi}{3} \]

Подставим \( R \): \[ s_{большая} = 2 \pi \times \frac{201}{2\pi} - \frac{201}{2\pi} \times \frac{2\pi}{3} \]

Упростим выражения: \[ s_{большая} = 201 - \frac{201}{2\pi} \times \frac{2\pi}{3} \]

Обратите внимание, что: \[ \frac{201}{2\pi} \times \frac{2\pi}{3} = 201 \times \frac{1}{3} = \frac{201}{3} = 67 \]

Следовательно: \[ s_{большая} = 201 - 67 = 134 \]

Ответ: длина большей дуги равна 134.