Найти объем и площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1, основанием которого является прямоугольник со сторонами АД=5см, ДС=12см, а диагональ боковой грани ДС1=15см.

Давайте подробно разберем задачу и найдем объем и площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда АВСДА₁В₁С₁Д₁. **Дано:** - Основание — прямоугольник АДВС - AD = 5 см - DC = 12 см - Диагональ боковой грани ДС₁ = 15 см --- ### Шаг 1: Нарисуем схему и определим известные стороны - Основание — прямоугольник АДВС: - АД = 5 см - ДС = 12 см - Вершины A, B, C, D лежат в одной плоскости. - Вершины A₁, B₁, C₁, D₁ — вершины верхней параллельной плоскости (выступающие вверх). --- ### Шаг 2: Найти стороны основания - В прямоугольнике ABCD стороны АД и BC равны 5 см - Стороны DC и AB равны 12 см (по условию, основание — прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см) --- ### Шаг 3: Определить высоту параллелепипеда - Диагональ боковой грани ДС₁ равна 15 см. - Грани ДС и С₁D₁ — боковые грани, соединяющие D с D₁ и S с S₁. Диагональ ДС₁ — это гипотенуза в треугольнике, где: - один катет — высота параллелепипеда h - другой — сторона основания, соединяющая D и S, то есть длина стороны DC (12 см). Рассмотрим треугольник DС₁: - D — нижняя точка - S — нижняя точка - D₁ — верхняя точка, над D - C₁ — верхняя точка, над C Но по условию, именно диагональ боковой грани ДС₁ равна 15 см. Длина диагонали ДС₁ связана с высотой h и длиной стороны DC. --- ### Шаг 4: Найти высоту параллелепипеда Понять, что длина диагонали боковой грани ДС₁ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где: - Одна катета — это длина стороны DC (12 см) - Другой — высота h (расстояние между основаниями) Запишем: \[ D S_1 = \sqrt{(DC)^2 + h^2} \] или: \[ 15 = \sqrt{12^2 + h^2} \] \[ 15^2 = 12^2 + h^2 \] \[ 225 = 144 + h^2 \] \[ h^2 = 225 - 144 = 81 \] \[ h = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \] **Высота параллелепипеда = 9 см.** --- ### Шаг 5: Вычислим объем Объем параллелепипеда: \[ V = \text{площадь основания} \times \text{высота} \] Площадь основания (прямоугольника): \[ S_{осн} = АД \times ДС = 5 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 60 \text{ см}^2 \] Тогда: \[ V = 60 \times 9 = 540 \text{ см}^3 \] --- ### Шаг 6: Найти площадь боковой поверхности Боковая поверхность — это сумма площадей четырех прямоугольных боковых граней. Боковые грани: - ДВ₁ и АВ — стороны основания, стороны высоты - D₁C₁ и B₁A₁ — параллельные грани, имеют ту же длину, что и основания Наиболее заметные боковые грани: - Прямоугольники, образованные сторонами АД, ДС, боковые грани. Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = 2 \times (АD \times h + DC \times h) \] где: - АД = 5 см - DC = 12 см - h = 9 см Подставляем: \[ S_{бок} = 2 \times (5 \times 9 + 12 \times 9) = 2 \times (45 + 108) = 2 \times 153 = 306 \text{ см}^2 \] --- ### Итог: - **Объем:** \(\boxed{540 \text{ см}^3}\) - **Площадь боковой поверхности:** \(\boxed{306 \text{ см}^2}\) Если есть вопросы или нужно что-то уточнить — скажите!