Найти объем и площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1, основанием которого является прямоугольник со сторонами АД=5см, ДС=12см, а диагональ боковой грани…

Давайте подробно разберем задачу и найдем объем и площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда АВСДА₁В₁С₁Д₁.

Дано:

• Основание — прямоугольник АДВС
• AD = 5 см
• DC = 12 см
• Диагональ боковой грани ДС₁ = 15 см

---

Шаг 1: Нарисуем схему и определим известные стороны

• Основание — прямоугольник АДВС:
  • АД = 5 см
  • ДС = 12 см
• Вершины A, B, C, D лежат в одной плоскости.
• Вершины A₁, B₁, C₁, D₁ — вершины верхней параллельной плоскости (выступающие вверх).

---

Шаг 2: Найти стороны основания

• В прямоугольнике ABCD стороны АД и BC равны 5 см
• Стороны DC и AB равны 12 см

(по условию, основание — прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см)

---

Шаг 3: Определить высоту параллелепипеда

• Диагональ боковой грани ДС₁ равна 15 см.
• Грани ДС и С₁D₁ — боковые грани, соединяющие D с D₁ и S с S₁.

Диагональ ДС₁ — это гипотенуза в треугольнике, где:

• один катет — высота параллелепипеда h
• другой — сторона основания, соединяющая D и S, то есть длина стороны DC (12 см).

Рассмотрим треугольник DС₁:

• D — нижняя точка
• S — нижняя точка
• D₁ — верхняя точка, над D
• C₁ — верхняя точка, над C

Но по условию, именно диагональ боковой грани ДС₁ равна 15 см.
Длина диагонали ДС₁ связана с высотой h и длиной стороны DC.

---

Шаг 4: Найти высоту параллелепипеда

Понять, что длина диагонали боковой грани ДС₁ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где:

• Одна катета — это длина стороны DC (12 см)
• Другой — высота h (расстояние между основаниями)

Запишем: \[ D S_1 = \sqrt{(DC)^2 + h^2} \] или: \[ 15 = \sqrt{12^2 + h^2} \] \[ 15^2 = 12^2 + h^2 \] \[ 225 = 144 + h^2 \] \[ h^2 = 225 - 144 = 81 \] \[ h = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \]

Высота параллелепипеда = 9 см.

---

Шаг 5: Вычислим объем

Объем параллелепипеда: \[ V = \text{площадь основания} \times \text{высота} \]

Площадь основания (прямоугольника): \[ S_{осн} = АД \times ДС = 5 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 60 \text{ см}^2 \]

Тогда: \[ V = 60 \times 9 = 540 \text{ см}^3 \]

---

Шаг 6: Найти площадь боковой поверхности

Боковая поверхность — это сумма площадей четырех прямоугольных боковых граней.

Боковые грани:

• ДВ₁ и АВ — стороны основания, стороны высоты
• D₁C₁ и B₁A₁ — параллельные грани, имеют ту же длину, что и основания

Наиболее заметные боковые грани:

• Прямоугольники, образованные сторонами АД, ДС, боковые грани.

Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = 2 \times (АD \times h + DC \times h) \]

где:

• АД = 5 см
• DC = 12 см
• h = 9 см

Подставляем: \[ S_{бок} = 2 \times (5 \times 9 + 12 \times 9) = 2 \times (45 + 108) = 2 \times 153 = 306 \text{ см}^2 \]

---

Итог:

• Объем: \(\boxed{540 \text{ см}^3}\)
• Площадь боковой поверхности: \(\boxed{306 \text{ см}^2}\)

Если есть вопросы или нужно что-то уточнить — скажите!