Рассмотрим неравенство:
[ 2x^2 - 3x > 0 ]
Шаг 1. Вынесем общий множитель или приведем к виду, позволяющему использовать метод факторизации.
Можно вынести ( x ):
[ x (2x - 3) > 0 ]
Шаг 2. Теперь у нас есть произведение двух факторов: ( x ) и ( 2x - 3 ). Неравенство говорит, что произведение этих двух выражений больше нуля. Это возможно только в случаях, когда оба выражения положительны или оба отрицательны одновременно.
Значит, рассмотрим два случая:
Случай 1:
[ x > 0 ] и [ 2x - 3 > 0 ]
Случай 2:
[ x < 0 ] и [ 2x - 3 < 0 ]
Шаг 3. Решим каждое неравенство.
Первый случай:
[ x > 0 ]
[ 2x - 3 > 0 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2} ]
Объединение условий:
[ x > \frac{3}{2} ]
Второй случай:
[ x < 0 ]
[ 2x - 3 < 0 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2} ]
Но так как ( x < 0 ), это условие автоматически выполняется при ( x < 0 ).
Следовательно, вторая часть:
[ x < 0 ]
Шаг 4. Итоговые решения:
- Для первого случая: ( x > \frac{3}{2} )
- Для второго случая: ( x < 0 )
Массива решений:
[ x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty\right) ]
Ответ:
[ \boxed{
x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty\right)
} ]
