Давайте решим задачу пошагово и подробно разберем все аспекты.
Задача:
Игральную кость бросили дважды. Известно, что сумма выпавших очков равна 7. Нужно найти условную вероятность того, что в первый раз выпало меньше 5 очков.
Шаг 1. Обозначим события
- Пусть событие A — "в первый раз выпало меньше 5 очков", то есть число на первой кости — 1, 2, 3 или 4.
- Пусть событие B — "сумма двух бросков равна 7".
Нам нужно найти условную вероятность ( P(A \mid B) ).
Шаг 2. Определим все возможные исходы при условии ( B )
Во-первых, найдем все возможные пары результатов двух бросков, для которых сумма равна 7.
Для стандартной шестигранной кости возможные исходы — числа от 1 до 6.
Найдем все такие пары ((x, y)):
- ( (1, 6) )
- ( (2, 5) )
- ( (3, 4) )
- ( (4, 3) )
- ( (5, 2) )
- ( (6, 1) )
Итого — 6 пар.
Это все возможные выигрышные исходы при условии, что сумма равна 7.
Шаг 3. Найдём исходы, при которых в первый раз выпало меньше 5 очков
Из этих пар рассеиваем те, где первое число меньше 5 (то есть 1, 2, 3 или 4):
- ( (1, 6) )
- ( (2, 5) )
- ( (3, 4) )
Пары ( (4, 3) ), ( (5, 2) ), ( (6, 1) ) исключаем, так как в них первое число не меньше 5.
Шаг 4. Посчитаем условную вероятность
Условная вероятность ( P(A \mid B) ) — это отношение числа подходящих случаев (где первое число меньше 5, а сумма равна 7) к общему числу всех случаев, при которых сумма равна 7:
[
P(A \mid B) = \frac{\text{число подходящих случаев}}{\text{общее число случаев при } B}
]
У нас есть 3 подходящих случая:
- ( (1,6) )
- ( (2,5) )
- ( (3,4) )
Общее число — 6 (все исходы, сумма которых равна 7).
Ответ:
[
\boxed{
P(\text{в первый раз меньше 5} \mid \text{сумма равна 7}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
}
]
Итог:
Условная вероятность, что в первый бросок выпало меньше 5 очков при условии, что сумма равна 7, составляет (\frac{1}{2}) или 50%.
