Точки 𝑀 M, 𝑁 N и 𝐾 K являются серединами рёбер куба 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 . Найди высоту пирамиды 𝐷 1 𝑀 𝑁 𝐾 , опущенную из вершины 𝐷 1 D 1 , если ребро куба…

Давайте разберём задачу шаг за шагом и подробно объясним решение. У нас есть куб со стороной 6√3, в вершинах которого указаны точки M, N и K — середины рёбер. Нужно найти высоту пирамиды D₁MＮK, опущенную из вершины D₁.

Шаг 1. Обозначения и расположение точек

Обозначим координаты вершин куба для удобства. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(6√3, 0, 0)
• C(6√3, 6√3, 0)
• D(0, 6√3, 0)
• A₁(0, 0, 6√3)
• B₁(6√3, 0, 6√3)
• C₁(6√3, 6√3, 6√3)
• D₁(0, 6√3, 6√3)

Ребра куба равны 6√3. Точки M, N и K — середины рёбер, и нам нужно понять, каких именно рёбер они являются.

Шаг 2. Расположение точек M, N и K

• Точка M — середина ребра А–А₁: \[ M = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 6\sqrt{3}}{2} \right) = (0, 0, 3\sqrt{3}) \]

• Точка N — середина ребра B–B₁: \[ N = \left(\frac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 6\sqrt{3}}{2} \right) = (6\sqrt{3}, 0, 3\sqrt{3}) \]

• Точка K — середина ребра C–C₁: \[ K = \left(\frac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2}, \frac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 6\sqrt{3}}{2} \right) = (6\sqrt{3}, 6\sqrt{3}, 3\sqrt{3}) \]

Шаг 3. Вершина пирамиды

Вершина пирамиды — D₁ с координатами (0, 6√3, 6√3).

Шаг 4. Построение высоты

Высота пирамиды — это расстояние по перпендикуляру из вершины D₁ до плоскости, образованной точками M, N и K.

Нам нужно найти расстояние от точки D₁(0, 6√3, 6√3) до плоскости, проходящей через точки M, N, K.

Шаг 5. Уравнение плоскости через М, N и K

Найдем векторное уравнение плоскости. Для этого возьмем два вектора на плоскости и найдем их векторное произведение.

• \(\vec{MN} = N - M = (6\sqrt{3} - 0, 0 - 0, 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) = (6\sqrt{3}, 0, 0)\)
• \(\vec{MK} = K - M = (6\sqrt{3} - 0, 6\sqrt{3} - 0, 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) = (6\sqrt{3}, 6\sqrt{3}, 0)\)

Векторное произведение \(\vec{MN} \times \vec{MK}\): \[ \begin{aligned} \vec{n} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 6\sqrt{3} & 6\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} \end{aligned} \] Вычисляем детерминант:

• по \(\mathbf{i}\): \(0 \times 0 - 0 \times 6\sqrt{3} = 0\)
• по \(\mathbf{j}\): \(6\sqrt{3} \times 0 - 0 \times 6\sqrt{3} = 0\)
• по \(\mathbf{k}\): \(6\sqrt{3} \times 6\sqrt{3} - 0 \times 6\sqrt{3} = (6\sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108\)

Итак, \[ \vec{n} = (0, 0, 108) \]

Это — нормальный вектор плоскости. Его можно упростить, разделив на 108: \[ \vec{n} = (0, 0, 1) \]

Это означает, что плоскость параллельна оси Z и ее уравнение — z = const.

Чтобы найти z для плоскости через точки M, N, K, подставим координаты любой из них (например, M): \[ z = 3\sqrt{3} \]

Плоскость, проходящая через M, N, K, — это плоскость, параллельная XY, с уравнением: \[ z = 3\sqrt{3} \]

Шаг 6. Расстояние от D₁ до плоскости

Координаты D₁: (0, 6√3, 6√3)

Плоскость имеет уравнение: \[ z = 3\sqrt{3} \] Расстояние от точки D₁ до этой плоскости: \[ d = |z_{D_1} - z_{плоскости}| = |6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}| = 3\sqrt{3} \]

Итог:

Высота пирамиды D₁MＮK, опущенная из вершины D₁ — равно \( \boxed{3\sqrt{3}}} \).