Точки 𝑀 M, 𝑁 N и 𝐾 K являются серединами рёбер куба 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 . Найди высоту пирамиды 𝐷 1 𝑀 𝑁 𝐾 , опущенную из вершины 𝐷 1 D 1 , если ребро куба равно 6 корень 3

Давайте разберём задачу шаг за шагом и подробно объясним решение. У нас есть куб со стороной 6√3, в вершинах которого указаны точки M, N и K — середины рёбер. Нужно найти высоту пирамиды D₁MＮK, опущенную из вершины D₁. ### Шаг 1. Обозначения и расположение точек Обозначим координаты вершин куба для удобства. Пусть: - A(0, 0, 0) - B(6√3, 0, 0) - C(6√3, 6√3, 0) - D(0, 6√3, 0) - A₁(0, 0, 6√3) - B₁(6√3, 0, 6√3) - C₁(6√3, 6√3, 6√3) - D₁(0, 6√3, 6√3) Ребра куба равны 6√3. Точки M, N и K — середины рёбер, и нам нужно понять, каких именно рёбер они являются. ### Шаг 2. Расположение точек M, N и K - Точка M — середина ребра А–А₁: \[ M = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 6\sqrt{3}}{2} \right) = (0, 0, 3\sqrt{3}) \] - Точка N — середина ребра B–B₁: \[ N = \left(\frac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 6\sqrt{3}}{2} \right) = (6\sqrt{3}, 0, 3\sqrt{3}) \] - Точка K — середина ребра C–C₁: \[ K = \left(\frac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2}, \frac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 6\sqrt{3}}{2} \right) = (6\sqrt{3}, 6\sqrt{3}, 3\sqrt{3}) \] ### Шаг 3. Вершина пирамиды Вершина пирамиды — D₁ с координатами (0, 6√3, 6√3). ### Шаг 4. Построение высоты Высота пирамиды — это расстояние по перпендикуляру из вершины D₁ до плоскости, образованной точками M, N и K. Нам нужно найти расстояние от точки D₁(0, 6√3, 6√3) до плоскости, проходящей через точки M, N, K. ### Шаг 5. Уравнение плоскости через М, N и K Найдем векторное уравнение плоскости. Для этого возьмем два вектора на плоскости и найдем их векторное произведение. - \(\vec{MN} = N - M = (6\sqrt{3} - 0, 0 - 0, 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) = (6\sqrt{3}, 0, 0)\) - \(\vec{MK} = K - M = (6\sqrt{3} - 0, 6\sqrt{3} - 0, 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) = (6\sqrt{3}, 6\sqrt{3}, 0)\) Векторное произведение \(\vec{MN} \times \vec{MK}\): \[ \begin{aligned} \vec{n} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 6\sqrt{3} & 6\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} \end{aligned} \] Вычисляем детерминант: - по \(\mathbf{i}\): \(0 \times 0 - 0 \times 6\sqrt{3} = 0\) - по \(\mathbf{j}\): \(6\sqrt{3} \times 0 - 0 \times 6\sqrt{3} = 0\) - по \(\mathbf{k}\): \(6\sqrt{3} \times 6\sqrt{3} - 0 \times 6\sqrt{3} = (6\sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108\) Итак, \[ \vec{n} = (0, 0, 108) \] Это — нормальный вектор плоскости. Его можно упростить, разделив на 108: \[ \vec{n} = (0, 0, 1) \] Это означает, что плоскость параллельна оси Z и ее уравнение — z = const. Чтобы найти z для плоскости через точки M, N, K, подставим координаты любой из них (например, M): \[ z = 3\sqrt{3} \] Плоскость, проходящая через M, N, K, — это плоскость, параллельная XY, с уравнением: \[ z = 3\sqrt{3} \] ### Шаг 6. Расстояние от D₁ до плоскости Координаты D₁: (0, 6√3, 6√3) Плоскость имеет уравнение: \[ z = 3\sqrt{3} \] Расстояние от точки D₁ до этой плоскости: \[ d = |z_{D_1} - z_{плоскости}| = |6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}| = 3\sqrt{3} \] ### Итог: **Высота пирамиды D₁MＮK, опущенная из вершины D₁ — равно \( \boxed{3\sqrt{3}}} \).**