В ходе исследования выясняется зависимость между величиной прибыли сельскохозяйственных предприятий и тем, берут ли они кредиты в банках. Из всей совокупности сельхозпредприятий…
В ходе исследования выясняется зависимость между величиной прибыли сельскохозяйственных предприятий и тем, берут ли они кредиты в банках. Из всей совокупности сельхозпредприятий (204 единицы), которые рассматривались в рамках исследовательского проекта 12 прибегали к услугам по привлечению дополнительных средств и в конечном итоге получили прибыль, превышающую 5 млн. рублей. Среди не пользующихся кредитами 74 предприятия получили прибыль менее 5 млн. рублей, а 73 - более указанной суммы. Выясните с помощью коэффициента контингенции силу связи между исследуемыми признаками. В ответ введите значение коэффициента, округлив его до сотых. Дробную часть числа отделяйте точкой.
Давайте решим задачу шаг за шагом, применяя коэффициент контингенции, который измеряет силу связи между двумя признаками — в данном случае, используют ли сельскохозяйственные предприятия кредиты и их прибыль.
Шаг 1: Запишем исходные данные
Всего предприятий: \( N = 204 \)
- Использующие кредиты: \( R \)
- Не использующие кредиты: \( N - R \)
Из условия:
- Использующие кредиты и прибыль > 5 млн. — 12 предприятий
В не использующих кредиты:
- Прибыль < 5 млн.: 74
- Прибыль > 5 млн.: 73
Общая сумма не использующих кредиты: \[ 74 + 73 = 147 \]
Тогда количество использующих кредиты: \[ R = 204 - 147 = 57 \]
Шаг 2: Построим таблицу сопряженности
| Прибыль > 5 млн. | Прибыль < 5 млн. | Итого | |
|---|---|---|---|
| Используют кредиты | 12 | \( R - 12 = 57 - 12 = 45 \) | 57 |
| Не используют кредиты | 73 | 74 | 147 |
| Итого | 85 | 119 | 204 |
Шаг 3: Вычислим ожидаемые значения
Эти значения соответствуют предположению, что признаки независимы:
\[ E_{ij} = \frac{(\text{сумма по строке}) \times (\textумма по столбцу})}{N} \]
Для ячейки "Используют кредиты" и "> 5 млн." (первая строка, первая колонка):
\[ E_{11} = \frac{(57) \times (85)}{204} \approx \frac{4845}{204} \approx 23.77 \]
Для ячейки "Используют кредиты" и "< 5 млн.":
\[ E_{12} = \frac{(57) \times (119)}{204} \approx \frac{6783}{204} \approx 33.23 \]
Для ячейки "Не используют кредиты" и "> 5 млн.":
\[ E_{21} = \frac{(147) \times (85)}{204} \approx \frac{12495}{204} \approx 61.19 \]
Для ячейки "Не используют кредиты" и "< 5 млн.":
\[ E_{22} = \frac{(147) \times (119)}{204} \approx \frac{17493}{204} \approx 85.81 \]
Шаг 4: Вычислим коэффициент контингенции \( V \)
Коэффициент контингенции рассчитывается по формуле:
\[ V = \frac{\sum |O_{ij} - E_{ij}|}{N \times (k - 1)} \]
где:
- \(O_{ij}\) — наблюдаемые значения,
- \(E_{ij}\) — ожидаемые значения,
- \(k\) — число строк (или колонок), здесь \(k=2\).
Или, более удобно для 2х2 таблицы:
\[ V = \frac{\chi^2}{N \times \text{min}(r - 1, c - 1)} = \frac{\chi^2}{N} \]
поскольку для 2x2 таблицы:
\[ V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N}} \]
Рассчитаем \(\chi^2\):
\[ \chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \]
По ячейкам:
- \(O_{11} = 12\), \(E_{11} \approx 23.77\):
\[ \frac{(12 - 23.77)^2}{23.77} \approx \frac{(-11.77)^2}{23.77} \approx \frac{138.52}{23.77} \approx 5.83 \]
- \(O_{12} = 45\), \(E_{12} \approx 33.23\):
\[ \frac{(45 - 33.23)^2}{33.23} \approx \frac{11.77^2}{33.23} \approx \frac{138.52}{33.23} \approx 4.17 \]
- \(O_{21} = 73\), \(E_{21} \approx 61.19\):
\[ \frac{(73 - 61.19)^2}{61.19} \approx \frac{11.81^2}{61.19} \approx \frac{139.23}{61.19} \approx 2.28 \]
- \(O_{22} = 74\), \(E_{22} \approx 85.81\):
\[ \frac{(74 - 85.81)^2}{85.81} \approx \frac{(-11.81)^2}{85.81} \approx \frac{139.23}{85.81} \approx 1.62 \]
Суммарное \(\chi^2\):
\[ \chi^2 \approx 5.83 + 4.17 + 2.28 + 1.62 = 13.90 \]
Шаг 5: Найдём коэффициент контингенции
\[ V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N}} = \sqrt{\frac{13.90}{204}} \approx \sqrt{0.0681} \approx 0.26 \]
Ответ: округляем до сотых: 0.26
Итоговый ответ: 0.26
Если нужно, могу объяснить ещё подробнее или уточнить шаги!
