найдите точки перегиба графика функции: y=x^3-x

Давайте разберемся с задачей: найти точки перегиба графика функции \( y = x^3 - x \).

Что такое точка перегиба?
Точка перегиба — это такая точка графика функции, где кривизна меняет знак. То есть в этой точке второй производной меняет знак с положительного на отрицательный или наоборот.

Шаг 1: Найти первую и вторую производную функции

Для функции \( y = x^3 - x \):

• Первая производная \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - x) = 3x^2 - 1 \]

• Вторая производная \( y'' \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 1) = 6x \]

Шаг 2: Найти точки возможных перегибов

Точки перегиба могут находиться там, где вторая производная равна нулю или не определена, при условии, что в этой точке происходит изменение знака второй производной.

Решим уравнение: \[ 6x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

Это единственная кандидатура на точку перегиба.

Шаг 3: Определить знак второй производной слева и справа от точки \( x=0 \)

• Для \( x < 0 \): \[ y'' = 6x < 0 \] (отрицательно)

• Для \( x > 0 \): \[ y'' = 6x > 0 \] (положительно)

Значит, в точке \( x=0 \) вторая производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Итог:

в точке \( x=0 \) происходит изменение кривизны графика, следовательно — это точка перегиба.

Шаг 4: Найти координаты точки перегиба

Подставим \( x=0 \) в исходное уравнение, чтобы найти \( y \):

\[ y = (0)^3 - 0 = 0 \]

Ответ:

Точка перегиба графика функции \( y = x^3 - x \) находится в точке \((0, 0)\).