Дано уравнение:
[ x^2 + \frac{b}{2}x + b = 0. ]
Нам нужно определить такие значения параметра (b), при которых уравнение имеет ровно одно решение.
Шаг 1. Обозначим коэффициенты уравнения:
[
a = 1; \quad c = b; \quad d = \frac{b}{2}.
]
Но, на самом деле, уравнение ( x^2 + \frac{b}{2}x + b = 0 ) — это квадратичное, где
[
A = 1, \quad B = \frac{b}{2}, \quad C = b.
]
Шаг 2. Условие наличия ровно одного решения:
Квадратичное уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:
[
D = B^2 - 4AC = 0.
]
Шаг 3. Вычислим дискриминант (D):
[
D = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - 4 \times 1 \times b = \frac{b^2}{4} - 4b.
]
Шаг 4. Решим уравнение ( D = 0 ):
[
\frac{b^2}{4} - 4b = 0.
]
Упростим:
[
\frac{b^2}{4} = 4b.
]
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 4:
[
b^2 = 16b.
]
Перенесем все в левую сторону:
[
b^2 - 16b = 0.
]
Вынесем (b):
[
b(b - 16) = 0.
]
Шаг 5. Найдём корни уравнения:
[
b = 0 \quad \text{или} \quad b = 16.
]
Эти значения обеспечивают дисриминант равным нулю, следовательно, уравнение имеет ровно один корень.
Итог:
Значения параметра (b), при которых уравнение имеет ровно один корень:
[
\boxed{b = 0 \quad \text{или} \quad b = 16}.
]
Решения при этих значениях:
При (b=0):
[ x^2 + 0 \times x + 0 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0. ]
При (b=16):
[ x^2 + \frac{16}{2}x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 + 8 x + 16 = 0. ]
Дискриминант:
[ D = 8^2 - 4 \times 1 \times 16 = 64 - 64 = 0, ]
значит, есть ровно один корень:
[ x = -\frac{B}{2A} = -\frac{8}{2} = -4. ]
Если нужны дополнительные пояснения, обращайтесь!
