1. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью ω=π/6 рад/с. Во сколько раз путь Δs, пройденный точкой за время t=4 с, будет больше модуля ее…

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

• Угловая скорость \( \omega = \frac{\pi}{6} \) рад/с
• Время \( t = 4 \) с
• Начальный угол \( \phi_0 = \frac{\pi}{3} \) рад
• Радиус окружности \( R \) (поскольку не указан, будем считать его произвольным, так как он сократится при сравнении)

Шаг 1. Найдём угол, пройденный точкой за время \( t \)

Угол поворота за время \( t \): \[ \phi(t) = \phi_0 + \omega t \] Подставим значения: \[ \phi(4) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \times 4 = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \]

Значит, за 4 сек точка прошла по окружности угол в \( \pi \) рад — половину окружности.

Шаг 2. Найдём путь \( \Delta s \)

Путь — длина дуги, которая соответствует углу \( \Delta \phi = \omega t \): \[ \Delta s = R \Delta \phi = R \times \pi \]

Шаг 3. Найдём перемещение \( \Delta r \)

Перемещение — это длина ради vectors' разности: \[ \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) - \mathbf{r}(0) \]

На окружности радиуса \( R \), начальное положение задаётся углом \( \phi_0 = \pi/3 \), конечное — \( \phi \):

• Начальный вектор: \[ \mathbf{r}_0 = R (\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = R \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

• Конечный вектор (через \( \phi = \pi \)): \[ \mathbf{r}_f = R (\cos \pi, \sin \pi) = R (-1, 0) \]

Теперь найдём разность: \[ \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_f - \mathbf{r}_0 = R \left(-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = R \left(-\frac{3}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

Модуль перемещения: \[ \Delta r = |\Delta \mathbf{r}| = R \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = R \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = R \sqrt{\frac{12}{4}} = R \sqrt{3} \]

Шаг 4. Ответ — отношение \( \frac{\Delta s}{\Delta r} \)

Найдем отношение:

\[ \frac{\Delta s}{\Delta r} = \frac{R \pi}{R \sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \]

Ответ: \[ \boxed{ \frac{\Delta s}{\Delta r} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx 1.81 } \]

Итак:

Путь, пройденный за время \( t \), в \( \displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{3}} \) раз больше модуля её перемещения.
То есть, в \( \approx 1.81 \) раз больше.

Если нужно более краткое резюме или дополнительные объяснения — скажите!