Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Угловая скорость ( \omega = \frac{\pi}{6} ) рад/с
- Время ( t = 4 ) с
- Начальный угол ( \phi_0 = \frac{\pi}{3} ) рад
- Радиус окружности ( R ) (поскольку не указан, будем считать его произвольным, так как он сократится при сравнении)
Шаг 1. Найдём угол, пройденный точкой за время ( t )
Угол поворота за время ( t ):
[
\phi(t) = \phi_0 + \omega t
]
Подставим значения:
[
\phi(4) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \times 4 = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi
]
Значит, за 4 сек точка прошла по окружности угол в ( \pi ) рад — половину окружности.
Шаг 2. Найдём путь ( \Delta s )
Путь — длина дуги, которая соответствует углу ( \Delta \phi = \omega t ):
[
\Delta s = R \Delta \phi = R \times \pi
]
Шаг 3. Найдём перемещение ( \Delta r )
Перемещение — это длина ради vectors' разности:
[
\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) - \mathbf{r}(0)
]
На окружности радиуса ( R ), начальное положение задаётся углом ( \phi_0 = \pi/3 ), конечное — ( \phi ):
Начальный вектор:
[
\mathbf{r}_0 = R (\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = R \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
]
Конечный вектор (через ( \phi = \pi )):
[
\mathbf{r}_f = R (\cos \pi, \sin \pi) = R (-1, 0)
]
Теперь найдём разность:
[
\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_f - \mathbf{r}_0 = R \left(-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = R \left(-\frac{3}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
]
Модуль перемещения:
[
\Delta r = |\Delta \mathbf{r}| = R \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = R \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = R \sqrt{\frac{12}{4}} = R \sqrt{3}
]
Шаг 4. Ответ — отношение ( \frac{\Delta s}{\Delta r} )
Найдем отношение:
[
\frac{\Delta s}{\Delta r} = \frac{R \pi}{R \sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}}
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{\Delta s}{\Delta r} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx 1.81
}
]
Итак:
Путь, пройденный за время ( t ), в ( \displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{3}} ) раз больше модуля её перемещения.
То есть, в ( \approx 1.81 ) раз больше.
Если нужно более краткое резюме или дополнительные объяснения — скажите!
