Билет 9 1. Теорема о свойстве биссектрисы с доказательством 2. Смежные и вертикальные углы. Определение и свойства
Давайте разберем ваш билет по частям, начиная с теоремы о свойстве биссектрисы, затем перейдем к смежным и вертикальным углам.
1. Теорема о свойстве биссектрисы с доказательством
Что такое биссектриса?
Биссектриса — это отрезок, делящий угол на две равные части.
Теорема:
Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
То есть, если биссектриса угла ∡BAC в треугольнике ABC опущена из вершины A и пересекает сторону BC в точке D, тогда выполняется равенство:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
Доказательство
Шаг 1: Построим треугольник ABC, у которого проведена биссектриса AD из вершины A на сторону BC, точка D.
Шаг 2: Проведем перпендикуляры из точек B и C на сторону AD, обозначим эти перпендикуляры как BE и CF, где E — перпендикуляр из B, а F — из C.
Шаг 3: Рассмотрим triangles ABE и ACF:
- Они общие стороны: сторона АЕ и CF (по сути, это перпендикуляры),
- Углы при основании равны: ∠EAB и ∠FAC (так как они вытянуты из равных половин угла А — ведь биссектриса делит угол на равные части).
Значит, эти треугольники АBE и ACF подобны по углу-углу (имея два равных угла).
Шаг 4: Из подобных треугольников следует равенство отношений их соответствующих сторон:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CF} \]
Шаг 5: Рассмотрим треугольники BDE и CDF, в которых D — точка пересечения биссектрисы с BC:
Они оба содержат угол при D, равный по построению дугам, так как они расположены на одной стороне Batman, и из-за природы биссектрисы.
Также, эти треугольники делятся по точкам D.
Следуя по аналогии и используя свойства подобных треугольников и равенство частей, выводим, что:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
Заключение:
Биссектриса делит сторону BC в пропорции равной длин сторон, прилегающих к углу, то есть:
\[
\boxed{
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
}
\]
2. Смежные и вертикальные углы: определение и свойства
Смежные углы:
Два угла, которые имеют общую сторону и часть ее, образуя прямую линию.
Пример: Углы, образованные двумя пересекающимися линиями, например, углы ∠1 и ∠2, которые расположены рядом.
Свойство:
Смежные углы, образованные при пересечении двух прямых, в сумме дают 180°, то есть:
\[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \]
Вертикальные углы:
Два угла, расположенные напротив друг друга при пересечении двух линий.
Пример: Если две прямые пересекаются, то образуются четыре угла, причём каждый из двух углов напротив друг друга — вертикальные.
Свойство:
Вертикальные углы равны между собой.
То есть, если ∠A и ∠B — вертикальные углы, то:
\[ \angle A = \angle B \]
Дополнительное свойство:
- Вертикальные углы не обязательно — смежные и равны, но обычно разные.
- Например, если два пересекающихся прямых образовали углы 50° и их вертикальные углы также равны 50°.
Если вам нужно более подробное объяснение или решение именно по этим темам, скажите!
