Билет 9 1. Теорема о свойстве биссектрисы с доказательством 2. Смежные и вертикальные углы. Определение и свойства

Давайте разберем ваш билет по частям, начиная с теоремы о свойстве биссектрисы, затем перейдем к смежным и вертикальным углам. --- ### 1. Теорема о свойстве биссектрисы с доказательством **Что такое биссектриса?** Биссектриса — это отрезок, делящий угол на две равные части. **Теорема:** *Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.* То есть, если биссектриса угла ∡BAC в треугольнике ABC опущена из вершины A и пересекает сторону BC в точке D, тогда выполняется равенство: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] --- ### Доказательство **Шаг 1:** Построим треугольник ABC, у которого проведена биссектриса AD из вершины A на сторону BC, точка D. **Шаг 2:** Проведем перпендикуляры из точек B и C на сторону AD, обозначим эти перпендикуляры как BE и CF, где E — перпендикуляр из B, а F — из C. **Шаг 3:** Рассмотрим triangles ABE и ACF: - Они общие стороны: сторона АЕ и CF (по сути, это перпендикуляры), - Углы при основании равны: ∠EAB и ∠FAC (так как они вытянуты из равных половин угла А — ведь биссектриса делит угол на равные части). Значит, эти треугольники АBE и ACF подобны по углу-углу (имея два равных угла). **Шаг 4:** Из подобных треугольников следует равенство отношений их соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CF} \] **Шаг 5:** Рассмотрим треугольники BDE и CDF, в которых D — точка пересечения биссектрисы с BC: - Они оба содержат угол при D, равный по построению дугам, так как они расположены на одной стороне Batman, и из-за природы биссектрисы. - Также, эти треугольники делятся по точкам D. Следуя по аналогии и используя свойства подобных треугольников и равенство частей, выводим, что: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] **Заключение:** Биссектриса делит сторону BC в пропорции равной длин сторон, прилегающих к углу, то есть: \[ \boxed{ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} } \] --- ### 2. Смежные и вертикальные углы: определение и свойства **Смежные углы:** Два угла, которые имеют общую сторону и часть ее, образуя прямую линию. **Пример:** Углы, образованные двумя пересекающимися линиями, например, углы ∠1 и ∠2, которые расположены рядом. **Свойство:** *Смежные углы, образованные при пересечении двух прямых, в сумме дают 180°, то есть:* \[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \] --- **Вертикальные углы:** Два угла, расположенные напротив друг друга при пересечении двух линий. **Пример:** Если две прямые пересекаются, то образуются четыре угла, причём каждый из двух углов напротив друг друга — вертикальные. **Свойство:** *Вертикальные углы равны между собой.* То есть, если ∠A и ∠B — вертикальные углы, то: \[ \angle A = \angle B \] **Дополнительное свойство:** - Вертикальные углы не обязательно — смежные и равны, но обычно разные. - Например, если два пересекающихся прямых образовали углы 50° и их вертикальные углы также равны 50°. --- Если вам нужно более подробное объяснение или решение именно по этим темам, скажите!