Решить задачу
Давайте разберём задачу пошагово.
Дано:
- Угловая скорость ротора: \(\omega_0 = 2,5\) рад/с
- Момент аэродинамических сил: \(M_1 = 150\) Н·м
- Момент трения в подшипниках: \(M_2 = 30\) Н·м
- Момент инерции ротора относительно оси вращения: \(J = 100\) кг·м²
Требуется определить, через какое время rotor остановится, то есть когда его угловая скорость уменьшится до нуля.
Шаг 1: Определить общий тормозной момент
Общий момент сопротивления, действующий на ротор, — это сумма моментов аэродинамических сил и трения:
\[ M_{\text{total}} = M_1 + M_2 = 150 + 30 = 180\, \text{Н·м} \]
Шаг 2: Записать уравнение вращательного движения
Законы динамики для вращательного движения:
\[ J \frac{d\omega}{dt} = - M_{\text{total}} \]
(знак «минус» — тормозной момент, который уменьшает скорость)
Подставляем:
\[ 100 \frac{d\omega}{dt} = -180 \]
или
\[ \frac{d\omega}{dt} = - \frac{180}{100} = -1.8\, \text{рад/с}^2 \]
Шаг 3: Решить дифференциальное уравнение
Это линейное уравнение:
\[ \frac{d\omega}{dt} = -1.8 \]
Общая форма:
\[ \omega(t) = \omega_0 + \left( \frac{d\omega}{dt} \right) t \]
подставляя начальные условия: \(\omega(0) = 2.5\)
Значит:
\[ \omega(t) = 2.5 - 1.8 t \]
Шаг 4: Определить время остановки ротора
Ротор останавливается, когда \(\omega(t) = 0\):
\[ 0 = 2.5 - 1.8 t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{2.5}{1.8} \approx 1.39\, \text{секунд} \]
Ответ:
Ротор остановится примерно через 1.39 секунд.
