Многочлен разложили на множители: х^3-5х^2-4х+20 = (х-а)(х-б)(х-с). Найди значения а, б, с
Давайте разберемся с задачей. Нам дан разложенный вид многочлена:
\[ x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = (x - a)(x - b)(x - c) \]
Нам нужно найти значения a, b и c.
Шаг 1: Распределим правую часть
Раскроем скобки:
\[ (x - a)(x - b)(x - c) \]
Для удобства сначала раскроем первые два скобки:
\[ (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab \]
Теперь умножим полученный результат на (x - c):
\[ [x^2 - (a + b)x + ab](x - c) \]
Распределим:
\[ x^2 \cdot x = x^3 \] \[ x^2 \cdot (-c) = -c x^2 \] \[ - (a + b) x \cdot x = - (a + b) x^2 \] \[ - (a + b) x \cdot (-c) = (a + b) c x \] \[ ab \cdot x = ab x \] \[ ab \cdot (-c) = -abc \]
Объединим все:
\[ x^3 - c x^2 - (a + b) x^2 + (a + b) c x + ab x - abc \]
Теперь сгруппируем по степеням:
\[ x^3 + \left[ - c x^2 - (a + b) x^2 \right] + \left[ (a + b) c x + ab x \right] - abc \]
Это равно:
\[ x^3 - (a + b + c) x^2 + [(a + b) c + ab] x - abc \]
Шаг 2: Сравним с исходным многочленом
Дана характеристика многочлена:
\[ x^3 - 5x^2 - 4x + 20 \]
По сравнению с получением:
\[ x^3 - (a + b + c) x^2 + [(a + b) c + ab] x - abc \]
Получаем систему уравнений:
\(- (a + b + c) = -5 \implies a + b + c = 5\)
\((a + b) c + ab = -4\)
\(- abc = 20 \implies abc = -20\)
Шаг 3: Решим систему
Известно:
- \(a + b + c = 5\)
- \(abc = -20\)
Рассмотрим возможные значения a, b, c, так как многочлен разлагается на линейные множители.
Шаг 4: Поиск значений
База — числа, произведение которых равно -20.
Переберем делители -20:
\[ -20 = 1 \times 4 \times -5 \quad \text{или} \quad -1 \times -4 \times 5 \]
Проверим, подходит ли сумма для каждого варианта:
- Если \((a, b, c) = (1, 4, -5)\):
\[ a + b + c = 1 + 4 - 5 = 0 \neq 5 \]
Не подходит.
- Если \((a, b, c) = (-1, -4, 5)\):
\[ -1 - 4 + 5 = 0 \neq 5 \]
Не подходит.
- Еще попробуем разные варианты:
\[ (2, -5, 4):\quad 2 - 5 + 4 = 1 \neq 5 \]
\[ (-2, 5, -4):\quad -2 + 5 - 4 = -1 \neq 5 \]
- А попробуем:
\[ ( -2, -10, 1 ) \] \[ -2 -10 + 1 = -11 \neq 5 \]
Не подходит.
Следующая идея — использовать выражение для \((a + b)\):
Из уравнения:
\[ (a + b) c + ab = -4 \]
Известно \(a + b + c = 5\). Тогда \(a + b = 5 - c\).
Подставим:
\[ (5 - c) c + ab = -4 \] \[ 5c - c^2 + ab = -4 \]
Также известно \(abc = -20\), то есть:
\[ ab c = -20 \implies ab = \frac{-20}{c} \]
Подставим \(ab\):
\[ 5 c - c^2 + \frac{-20}{c} = -4 \]
Упростим:
\[ 5 c - c^2 - \frac{20}{c} = -4 \]
Домножим обе части на \(c\), чтобы избавиться от дроби (предполагаем, что \(c \neq 0\)):
\[ (5 c - c^2) c - 20 = -4 c \]
Раскроем скобки:
\[ 5 c^2 - c^3 - 20 = -4 c \]
Перенесем все в левую часть:
\[ 5 c^2 - c^3 - 20 + 4 c = 0 \]
или:
\[ - c^3 + 5 c^2 + 4 c - 20 = 0 \]
Можем умножить всю уравнение на -1 для удобства:
\[ c^3 - 5 c^2 - 4 c + 20 = 0 \]
Теперь ищем корни этого уравнения.
Шаг 5: Решение кубического уравнения для \(c\)
Переберем делители свободного члена 20:
\[ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 \]
Подставим по очереди:
- \(c = 1\):
\[ 1 - 5 - 4 + 20 = 12 \neq 0 \]
- \(c = -1\):
\[ -1 - 5 + 4 + 20 = 18 \neq 0 \]
- \(c = 2\):
\[ 8 - 20 - 8 + 20 = 0 \]
Нашли корень: \(c=2\).
Теперь выражение для \(a + b\):
\[ a + b = 5 - c = 5 - 2 = 3 \]
и \(ab = \frac{-20}{c} = \frac{-20}{2} = -10\).
Шаг 6: Найти \(a\) и \(b\)
У них есть:
\[ a + b = 3 \] \[ ab = -10 \]
Рассмотрим квадратное уравнение для \(a, b\):
\[ t^2 - (a + b) t + ab = 0 \] \[ t^2 - 3 t - 10 = 0 \]
Решим:
\[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \]
Значения:
- \(t = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
- \(t = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
Следовательно, \(a\) и \(b\):
\[ (a, b) = (5, -2) \quad \text{или} \quad (-2, 5) \]
А \(c = 2\).
ИТОГ:
\[ a = 5, \quad b = -2, \quad c = 2 \]
или вариации порядка.
Ответ:
\[
\boxed{
a = 5,\quad b = -2,\quad c = 2
}
\]
Многочлен можно представить как:
\[ (x - 5)(x + 2)(x - 2) \]
Если есть еще вопросы — спрашивайте!
