Найдите значение выражения
Давайте подробно решим это выражение:
\[ 0{,}5^{0{,}5} \cdot \log_{0{,}5} 12 \]
Шаг 1: Упростим выражение \( 0,5^{0,5} \)
Знаем, что \( 0,5 = \frac{1}{2} \).
Поэтому:
\[ 0,5^{0,5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Далее:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,7071 \]
Шаг 2: Упростим логарифм \( \log_{0,5} 12 \)
Заменим основание логарифма:
\[ \log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a} \]
где \( \ln \) — натуральный логарифм.
Таким образом:
\[ \log_{0,5} 12 = \frac{\ln 12}{\ln 0,5} \]
Также известно, что:
\[ \ln 0,5 = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2 \]
Итак:
\[ \log_{0,5} 12 = \frac{\ln 12}{- \ln 2} \]
Далее, разложим \( \ln 12 \):
\[ \ln 12 = \ln (2^2 \cdot 3) = 2 \ln 2 + \ln 3 \]
Следовательно:
\[ \log_{0,5} 12 = \frac{2 \ln 2 + \ln 3}{- \ln 2} \]
Распределим знак:
\[ = - \frac{2 \ln 2 + \ln 3}{\ln 2} = - \left( \frac{2 \ln 2}{\ln 2} + \frac{\ln 3}{\ln 2} \right) = - (2 + \frac{\ln 3}{\ln 2}) \]
Обозначим \( \log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2} \), это логарифм по основанию 2.
Тогда:
\[ \log_{0,5} 12 = - (2 + \log_2 3) \]
Шаг 3: Итоговое выражение
Теперь исходное выражение:
\[ 0,5^{0,5} \cdot \log_{0,5} 12 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left[ - (2 + \log_2 3) \right] \]
То есть:
\[ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2 + \log_2 3) \]
Итог
Значение выражения равно:
\[ \boxed{ - \frac{2 + \log_2 3}{\sqrt{2}} } \]
или, приблизительно,
\[ - \frac{2 + 1.5849}{1.4142} \approx - \frac{3.5849}{1.4142} \approx -2.535 \]
Если нужно, можно оставить ответ в виде:
\[ - \frac{2 + \log_2 3}{\sqrt{2}} \]
или примерно — \(-2.535\).
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — спрашивайте!
