Найдите значение выражения

Давайте подробно решим это выражение: \[ 0{,}5^{0{,}5} \cdot \log_{0{,}5} 12 \] --- ## Шаг 1: Упростим выражение \( 0,5^{0,5} \) Знаем, что \( 0,5 = \frac{1}{2} \). Поэтому: \[ 0,5^{0,5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Далее: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,7071 \] --- ## Шаг 2: Упростим логарифм \( \log_{0,5} 12 \) Заменим основание логарифма: \[ \log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a} \] где \( \ln \) — натуральный логарифм. Таким образом: \[ \log_{0,5} 12 = \frac{\ln 12}{\ln 0,5} \] Также известно, что: \[ \ln 0,5 = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2 \] Итак: \[ \log_{0,5} 12 = \frac{\ln 12}{- \ln 2} \] Далее, разложим \( \ln 12 \): \[ \ln 12 = \ln (2^2 \cdot 3) = 2 \ln 2 + \ln 3 \] Следовательно: \[ \log_{0,5} 12 = \frac{2 \ln 2 + \ln 3}{- \ln 2} \] Распределим знак: \[ = - \frac{2 \ln 2 + \ln 3}{\ln 2} = - \left( \frac{2 \ln 2}{\ln 2} + \frac{\ln 3}{\ln 2} \right) = - (2 + \frac{\ln 3}{\ln 2}) \] Обозначим \( \log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2} \), это логарифм по основанию 2. Тогда: \[ \log_{0,5} 12 = - (2 + \log_2 3) \] --- ## Шаг 3: Итоговое выражение Теперь исходное выражение: \[ 0,5^{0,5} \cdot \log_{0,5} 12 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left[ - (2 + \log_2 3) \right] \] То есть: \[ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2 + \log_2 3) \] --- ## Итог Значение выражения равно: \[ \boxed{ - \frac{2 + \log_2 3}{\sqrt{2}} } \] или, приблизительно, \[ - \frac{2 + 1.5849}{1.4142} \approx - \frac{3.5849}{1.4142} \approx -2.535 \] Если нужно, можно оставить ответ в виде: \[ - \frac{2 + \log_2 3}{\sqrt{2}} \] или примерно — \(-2.535\). --- Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — спрашивайте!