Найди точку минимума функции f(x)=x^3−3x+12 .

Рассмотрим функцию:
\[ f(x) = x^3 - 3x + 12 \]

Наша задача — найти её точки минимума. Для этого нужно определить локальные экстремумы — точки, где производная равна нул, и проверить, является ли эта точка минимумом.

Шаг 1: Найти первую производную функции

Производная функции \(f(x)\) по \(x\):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 12) \]

Используя правила дифференцирования:

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

Шаг 2: Найти точки, где производная равна нул

Решим уравнение:

\[ 3x^2 - 3 = 0 \]

или

\[ 3x^2 = 3 \]

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = \pm 1 \]

Шаг 3: Определить характер точек (\(x = 1\) и \(x = -1\))

Для этого найдём вторую производную:

\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x \]

Подставим найденные точки:

• Для \(x = 1\):

\[ f''(1) = 6 \times 1 = 6 > 0 \]

Значит, в точке \(x=1\) функция принимает локальный минимум.

• Для \(x = -1\):

\[ f''(-1) = 6 \times (-1) = -6 < 0 \]

Значит, в точке \(x=-1\) функция принимает локальный максимум.

Шаг 4: Найти значение функции в точке минимума

Подставим \(x=1\):

\[ f(1) = (1)^3 - 3 \times 1 + 12 = 1 - 3 + 12 = 10 \]

Итог:

• Точка минимума: при \( x=1 \)
• Значение функции в точке минимума: \(\boxed{10}\)

Если нужно, я могу помочь с графиком или дополнительными объяснениями!