Давайте подробно разберём задачу и решим её шаг за шагом.
Задача:
Мячик сначала подпрыгнул на 2,4 м. После этого каждый следующий прыжок достигает высоты, равной в два раза меньшей предыдущего. Нужно определить, при каком по счёту прыжке высота впервые станет менее 5 см (то есть менее 0,05 м).
Шаг 1: Определим последовательность высот прыжков
- Первый прыжок: ( h_1 = 2,4,м )
- Следующий прыжок: высота в два раза меньше предыдущего, то есть:
[ h_{n} = \frac{h_{n-1}}{2} ]
или иными словами:
[ h_{n} = h_1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} ]
где ( n ) — номер прыжка.
Шаг 2: Запишем формулу высоты для каждого прыжка
Общая формула:
[
h_n = 2,4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
]
Нам нужно найти минимальное число ( n ), при котором:
[
h_n < 0.05
]
Подставим выражение:
[
2,4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.05
]
Шаг 3: Решим неравенство
Разделим обе части на 2,4:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{0.05}{2,4}
]
Вычислим правую часть:
[
\frac{0.05}{2,4} \approx 0.02083\ldots
]
Таким образом:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.02083
]
Шаг 4: Решим неравенство с помощью логарифмов
Запишем:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.02083
]
Это то же самое, что:
[
2^{-(n-1)} < 0.02083
]
Логарифмируем обе части по основанию 2 (учитывая, что логарифм с основанием 2 положителен и убывающая функция — логарифм):
[
-(n-1) \cdot \log_2 2 < \log_2 0.02083
]
или просто:
[
-(n-1) < \log_2 0.02083
]
Обратим знак и получим:
[
n-1 > - \log_2 0.02083
]
Рассчитаем (\log_2 0.02083):
[
\log_2 0.02083 = \frac{\ln 0.02083}{\ln 2}
]
Используем приближительные значения:
[
\ln 0.02083 \approx -3.87
]
[
\ln 2 \approx 0.693
]
Тогда:
[
\log_2 0.02083 \approx \frac{-3.87}{0.693} \approx -5.58
]
Подставим назад:
[
n - 1 > - (-5.58) = 5.58
]
Следовательно:
[
n > 6.58
]
Ответ:
Поскольку ( n ) — номер прыжка, целое число, то минимальное ( n ), при котором высота становится менее 5 см, — это:
[
n = 7
]
Значит, при седьмом прыжке мяч впервые не достигнет высоты 5 см.
Если понадобятся дополнительные объяснения или проверка — скажите!
