Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, подпрыгнул на 2.4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту…
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, подпрыгнул на 2.4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?
Давайте подробно разберём задачу и решим её шаг за шагом.
Задача:
Мячик сначала подпрыгнул на 2,4 м. После этого каждый следующий прыжок достигает высоты, равной в два раза меньшей предыдущего. Нужно определить, при каком по счёту прыжке высота впервые станет менее 5 см (то есть менее 0,05 м).
Шаг 1: Определим последовательность высот прыжков
- Первый прыжок: \( h_1 = 2,4\,м \)
- Следующий прыжок: высота в два раза меньше предыдущего, то есть:
\[ h_{n} = \frac{h_{n-1}}{2} \]
или иными словами:
\[ h_{n} = h_1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]
где \( n \) — номер прыжка.
Шаг 2: Запишем формулу высоты для каждого прыжка
Общая формула:
\[ h_n = 2,4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]
Нам нужно найти минимальное число \( n \), при котором:
\[ h_n < 0.05 \]
Подставим выражение:
\[ 2,4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.05 \]
Шаг 3: Решим неравенство
Разделим обе части на 2,4:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{0.05}{2,4} \]
Вычислим правую часть:
\[ \frac{0.05}{2,4} \approx 0.02083\ldots \]
Таким образом:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.02083 \]
Шаг 4: Решим неравенство с помощью логарифмов
Запишем:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.02083 \]
Это то же самое, что:
\[ 2^{-(n-1)} < 0.02083 \]
Логарифмируем обе части по основанию 2 (учитывая, что логарифм с основанием 2 положителен и убывающая функция — логарифм):
\[ -(n-1) \cdot \log_2 2 < \log_2 0.02083 \]
или просто:
\[ -(n-1) < \log_2 0.02083 \]
Обратим знак и получим:
\[ n-1 > - \log_2 0.02083 \]
Рассчитаем \(\log_2 0.02083\):
\[ \log_2 0.02083 = \frac{\ln 0.02083}{\ln 2} \]
Используем приближительные значения:
\[ \ln 0.02083 \approx -3.87 \] \[ \ln 2 \approx 0.693 \]
Тогда:
\[ \log_2 0.02083 \approx \frac{-3.87}{0.693} \approx -5.58 \]
Подставим назад:
\[ n - 1 > - (-5.58) = 5.58 \]
Следовательно:
\[ n > 6.58 \]
Ответ:
Поскольку \( n \) — номер прыжка, целое число, то минимальное \( n \), при котором высота становится менее 5 см, — это:
\[ n = 7 \]
Значит, при седьмом прыжке мяч впервые не достигнет высоты 5 см.
Если понадобятся дополнительные объяснения или проверка — скажите!
