вычисли производную функции
Давайте подробно разберем задачу — найти производную функции:
\[ f(x) = -x^{5.8} - x^{\frac{5}{2}} \sqrt{x} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^8}} \]
Я объясню шаг за шагом, как найти производную каждого слагаемого по отдельности, а потом сложу их.
1. Первое слагаемое: \(-x^{5.8}\)
Производная степенной функции \(-x^{n}\) равна \(-n x^{n-1}\).
То есть:
\[ \frac{d}{dx} \left( -x^{5.8} \right) = -5.8 \cdot x^{5.8 - 1} = -5.8 x^{4.8} \]
2. Второе слагаемое: \(-x^{\frac{5}{2}} \sqrt{x}\)
Представим \(\sqrt{x}\) как \(x^{1/2}\).
Тогда:
\[ x^{\frac{5}{2}} \sqrt{x} = x^{\frac{5}{2}} \cdot x^{1/2} = x^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{6}{2}} = x^{3} \]
- Теперь у нас получается:
\[ - x^{3} \]
- Производная:
\[ \frac{d}{dx} \left( -x^{3} \right) = -3 x^{2} \]
3. Третье слагаемое: \(\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^8}}\)
- Запишем это более подробно:
\[ \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^8}} = \frac{1}{3} \cdot \left( x^{8} \right)^{-1/3} \]
- Итак, это:
\[ \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{8}{3}} \]
- Производная этого выражения:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} x^{-\frac{8}{3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot \left(- \frac{8}{3}\right) x^{-\frac{8}{3} - 1} \]
- Вычислим кратко:
\[ = - \frac{8}{9} x^{-\frac{8}{3} - 1} = - \frac{8}{9} x^{-\frac{8}{3} - \frac{3}{3}} = - \frac{8}{9} x^{-\frac{11}{3}} \]
Итоговая производная функции:
\[ f'(x) = -5.8 x^{4.8} - 3 x^{2} - \frac{8}{9} x^{-\frac{11}{3}} \]
Если нужны дополнительные объяснения по какому-то пункту, скажи!
