Теорема Фалеса, теорема о пропорциональных отрезках, теорема о медианах (формулировки) Теорема о свойстве биссектрисы с доказательством. П11 2. Смежные и вертикальные углы.…

Давайте последовательно разберем каждую из указанных задач и теорем с подробными объяснениями.

1. Теорема Фалеса, теорема о пропорциональных отрезках, теорема о медианах

Теорема Фалеса
Фалесова теорема утверждает следующее:
Если на сторонах прямоугольного треугольника построить на катетах отрезки, параллельные гипотенузе, то они делят гипотенузу и прилегающие к ней отрезки пропорционально.

Формулировка:
Пусть на сторонах прямоугольного треугольника \( ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \), построены отрезки \( DE \parallel AB \) (гипотенуза) и отрезки \( D \) и \( E \) лежат на катетах \( AC \) и \( BC \), соответственно. Тогда:
\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AE}{EB} \] или, более точно, пропорциональны соответствующие отрезки.

Доказательство (с пошаговым объяснением):

1. Построим треугольник \( ABC \) с прямым уголами \( C \).
2. Проведем линию \( DE \parallel AB \), где \( D \) лежит на \( AC \), а \( E \) — на \( BC \).
3. По свойствам параллельных линий, подобраны треугольники: \( \triangle ADC \sim \triangle ABC \) и \( \triangle EBC \sim \triangle ABC \).
4. Отсюда следует, что отношение соответствующих сторон равно:
   \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DC}{BC} \] и аналогично для других пар.
5. В итоге получаем равенство пропорций, что и является свойством, утверждаемым теоремой.

2. Теорема о пропорциональных отрезках (на примере средней линии треугольника)

В треугольнике средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон.
Свойство:
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине ее длины.

Доказательство:

• Пусть \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AB \) и \( AC \) соответственно.
• Тогда \(\overline{MN} \parallel BC\) и \(\overline{MN} = \frac{1}{2} \overline{BC}\).

3. Теорема о медианах

Формулировка:
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В треугольнике есть три медианы, и они пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считаемая от вершины. Эта точка называется точкой пересечения медиан.

Свойство:
Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

4. Теорема о свойстве биссектрисы (с доказательством)

Формулировка:
Теорема: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длины прилегающих к этому углу отрезков.
Иначе: В треугольнике \( ABC \), если \( AD \) — биссектриса угла \( \angle A \), то:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Пусть \( D \) — точка на стороне \( BC \), через которую проведена биссектриса \( AD \).
2. Построим два сопутствующих треугольника: \( ABD \) и \( ACD \).
3. В этих треугольниках по свойствам углов: \( \angle BAD = \angle DAC \) (по определению биссектрисы).
4. Поэтому треугольники \( ABD \) и \( ACD \) похожи по двум углам (по углам и по соотношению знакособенностей).
5. В результате получаем:
   \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \] что и является утверждением теоремы.

5. Смежные и вертикальные углы — определения и свойства

Смежные углы:

• Это два угла, у которых есть общая сторона и вершина, и которые находятся по разные стороны этой общей стороны.
• Свойство: сумма смежных углов, образованных при пересечении двух линий, равна \( 180^\circ \).

Вертикальные углы:

• Это углы, образованные при пересечении двух пересекающихся линий, которые расположены напротив друг друга.
• Свойство: вертикальные углы всегда равны.

Если вам нужно более детальное решение по какому-нибудь пункту или объяснение — скажите!