Теорема Фалеса, теорема о пропорциональных отрезках, теорема о медианах (формулировки) Теорема о свойстве биссектрисы с доказательством. П11 2. Смежные и вертикальные углы. Определение и свойства

Давайте последовательно разберем каждую из указанных задач и теорем с подробными объяснениями. --- ### 1. Теорема Фалеса, теорема о пропорциональных отрезках, теорема о медианах **Теорема Фалеса** Фалесова теорема утверждает следующее: Если на сторонах прямоугольного треугольника построить на катетах отрезки, параллельные гипотенузе, то они делят гипотенузу и прилегающие к ней отрезки пропорционально. **Формулировка:** Пусть на сторонах прямоугольного треугольника \( ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \), построены отрезки \( DE \parallel AB \) (гипотенуза) и отрезки \( D \) и \( E \) лежат на катетах \( AC \) и \( BC \), соответственно. Тогда: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AE}{EB} \] или, более точно, пропорциональны соответствующие отрезки. **Доказательство (с пошаговым объяснением):** 1. Построим треугольник \( ABC \) с прямым уголами \( C \). 2. Проведем линию \( DE \parallel AB \), где \( D \) лежит на \( AC \), а \( E \) — на \( BC \). 3. По свойствам параллельных линий, подобраны треугольники: \( \triangle ADC \sim \triangle ABC \) и \( \triangle EBC \sim \triangle ABC \). 4. Отсюда следует, что отношение соответствующих сторон равно: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DC}{BC} \] и аналогично для других пар. 5. В итоге получаем равенство пропорций, что и является свойством, утверждаемым теоремой. --- ### 2. Теорема о пропорциональных отрезках (на примере средней линии треугольника) В треугольнике средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон. **Свойство:** Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. **Доказательство:** - Пусть \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AB \) и \( AC \) соответственно. - Тогда \(\overline{MN} \parallel BC\) и \(\overline{MN} = \frac{1}{2} \overline{BC}\). --- ### 3. Теорема о медианах **Формулировка:** Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В треугольнике есть три медианы, и они пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считаемая от вершины. Эта точка называется точкой пересечения медиан. **Свойство:** Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. --- ### 4. Теорема о свойстве биссектрисы (с доказательством) **Формулировка:** **Теорема:** Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длины прилегающих к этому углу отрезков. **Иначе:** В треугольнике \( ABC \), если \( AD \) — биссектриса угла \( \angle A \), то: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Пусть \( D \) — точка на стороне \( BC \), через которую проведена биссектриса \( AD \). 2. Построим два сопутствующих треугольника: \( ABD \) и \( ACD \). 3. В этих треугольниках по свойствам углов: \( \angle BAD = \angle DAC \) (по определению биссектрисы). 4. Поэтому треугольники \( ABD \) и \( ACD \) похожи по двум углам (по углам и по соотношению знакособенностей). 5. В результате получаем: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \] что и является утверждением теоремы. --- ### 5. Смежные и вертикальные углы — определения и свойства **Смежные углы:** - Это два угла, у которых есть общая сторона и вершина, и которые находятся по разные стороны этой общей стороны. - Свойство: сумма смежных углов, образованных при пересечении двух линий, равна \( 180^\circ \). **Вертикальные углы:** - Это углы, образованные при пересечении двух пересекающихся линий, которые расположены напротив друг друга. - Свойство: вертикальные углы всегда равны. --- Если вам нужно более детальное решение по какому-нибудь пункту или объяснение — скажите!