Реши задачу Мошенники завладели пластиковой картой, найденной в гипермаркете. Какова вероятность того, что они взломают пин код карты, если известно, что после третьей попытки…

Давайте аккуратно решим задачу по шагам, чтобы понять, какая вероятность, что мошенники взломают PIN-код карты, при условии, что после третьей неудачной попытки карта блокируется.

Исходные данные:

• Длина PIN-кода: 4 цифры.
• Каждая цифра — десятичная (от 0 до 9).
• После третьей неправильной попытки карта блокируется (то есть не более 3 попыток).

Предположения:

• Мошенники делают попытки случайно и без знания точного PIN-кода (это типичная ситуация в задачах такого рода).
• Вероятность, что с первой попытки они угадают PIN-код, равна вероятности угадывания его правильной комбинации.
• У них есть неограниченное число попыток, но в условии ограничение — 3 попытки, после которых карта блокируется.

Шаг 1: Общее число возможных PIN-кодов

Поскольку каждый из 4 символов — цифра от 0 до 9, то: \[ Общее число вариантов = 10^4 = 10000. \]

Шаг 2: Вероятность угадывания PIN-кода за 1 попытку

Вероятность, что мошенники угадают PIN с первой попытки: \[ P_1 = \frac{1}{10000}. \]

Шаг 3: Вероятности угадывания за две и три попытки

Если первый раз не угадали, то PIN не совпадает, и следующая попытка — одно из 9999 оставшихся вариантов.

Вероятность не угадать за одну попытку: \[ P_{не_угадать} = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000}. \]

Вероятность, что за 3 попытки подряд не угадают PIN: \[ P_{не_угадасть_за_3} = \left(\frac{9999}{10000}\right)^3. \]

Следовательно, вероятность того, что мошенники угадают PIN на одной из трёх первых попыток: \[ P_{\text{угадать за 1, 2 или 3 попытки}} = 1 - P_{не_угадасть_за_3}. \]

Шаг 4: Расчёт вероятности

Подставим числа: \[ P_{не_угадасть_за_3} = \left(\frac{9999}{10000}\right)^3. \]

Теперь вычислим это: \[ \left(\frac{9999}{10000}\right)^3 = \left(1 - \frac{1}{10000}\right)^3. \]

Используем приближение для небольших чисел:

\[ (1 - x)^3 \approx 1 - 3x, \quad \text{если } x \text{ малое}. \]

Здесь:

\[ x = \frac{1}{10000} = 0.0001, \]

поэтому:

\[ P_{не_угадасть_за_3} \approx 1 - 3 \times 0.0001 = 1 - 0.0003 = 0.9997. \]

Следовательно, вероятность того, что мошенники угадают PIN-код за три попытки: \[ P_{\text{угадают за 3 попытки}} = 1 - 0.9997 = 0.0003. \]

Итог:

Вероятность того, что мошенники взломают PIN-код, если они могут сделать только три попытки, равна приблизительно:

\[ \boxed{ 0.0003 \quad \text{или} \quad 0.03\% } \]

Если нужно более точное значение, можно вручную возвести в степень: \[ \left(\frac{9999}{10000}\right)^3 = \left(0.9999\right)^3 \approx 0.9997, \]

что даёт очень близкий результат.

Если у вас есть дополнительные вопросы — спрашивайте!