Давайте аккуратно решим задачу по шагам, чтобы понять, какая вероятность, что мошенники взломают PIN-код карты, при условии, что после третьей неудачной попытки карта блокируется.
Исходные данные:
- Длина PIN-кода: 4 цифры.
- Каждая цифра — десятичная (от 0 до 9).
- После третьей неправильной попытки карта блокируется (то есть не более 3 попыток).
Предположения:
- Мошенники делают попытки случайно и без знания точного PIN-кода (это типичная ситуация в задачах такого рода).
- Вероятность, что с первой попытки они угадают PIN-код, равна вероятности угадывания его правильной комбинации.
- У них есть неограниченное число попыток, но в условии ограничение — 3 попытки, после которых карта блокируется.
Шаг 1: Общее число возможных PIN-кодов
Поскольку каждый из 4 символов — цифра от 0 до 9, то:
[
Общее число вариантов = 10^4 = 10000.
]
Шаг 2: Вероятность угадывания PIN-кода за 1 попытку
Вероятность, что мошенники угадают PIN с первой попытки:
[
P_1 = \frac{1}{10000}.
]
Шаг 3: Вероятности угадывания за две и три попытки
Если первый раз не угадали, то PIN не совпадает, и следующая попытка — одно из 9999 оставшихся вариантов.
Вероятность не угадать за одну попытку:
[
P_{не_угадать} = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000}.
]
Вероятность, что за 3 попытки подряд не угадают PIN:
[
P_{не_угадасть_за_3} = \left(\frac{9999}{10000}\right)^3.
]
Следовательно, вероятность того, что мошенники угадают PIN на одной из трёх первых попыток:
[
P_{\text{угадать за 1, 2 или 3 попытки}} = 1 - P_{не_угадасть_за_3}.
]
Шаг 4: Расчёт вероятности
Подставим числа:
[
P_{не_угадасть_за_3} = \left(\frac{9999}{10000}\right)^3.
]
Теперь вычислим это:
[
\left(\frac{9999}{10000}\right)^3 = \left(1 - \frac{1}{10000}\right)^3.
]
Используем приближение для небольших чисел:
[
(1 - x)^3 \approx 1 - 3x, \quad \text{если } x \text{ малое}.
]
Здесь:
[
x = \frac{1}{10000} = 0.0001,
]
поэтому:
[
P_{не_угадасть_за_3} \approx 1 - 3 \times 0.0001 = 1 - 0.0003 = 0.9997.
]
Следовательно, вероятность того, что мошенники угадают PIN-код за три попытки:
[
P_{\text{угадают за 3 попытки}} = 1 - 0.9997 = 0.0003.
]
Итог:
Вероятность того, что мошенники взломают PIN-код, если они могут сделать только три попытки, равна приблизительно:
[
\boxed{
0.0003 \quad \text{или} \quad 0.03%
}
]
Если нужно более точное значение, можно вручную возвести в степень:
[
\left(\frac{9999}{10000}\right)^3 = \left(0.9999\right)^3 \approx 0.9997,
]
что даёт очень близкий результат.
Если у вас есть дополнительные вопросы — спрашивайте!
