Давайте подробно решим задачу по шагам, чтобы понять, как изменение температуры шара связано с его движением и потерь энергии.
Дано:
- Начальная высота: ( h_1 = 800, \м )
- Скорость перед столкновением: ( v_2 = 60, \м/с )
- Конечная высота: ( h_2 = 0, \м ) (соответствует земле)
- Удельная теплоёмкость меди: ( c = 400, \Дж/(кг·°С) )
- Масса шара: ( m ) (по условию не указана, предположим, что она есть или рассчитается через объем)
Цель:
Найти изменение температуры ( \Delta T ) шара, вызванное потерей механической энергии, которая превращается в тепло.
Шаг 1. Определение начальной механической энергии
Механическая энергия на вершине (считая вниз):
[ E_{нач} = E_{потенциальная} + E_{кинетическая} ]
Перед началом падения скорость равна нулю, значит:
[ E_{нач} = m g h_1 ]
где ( g = 9.8, \м/с^2 ).
Шаг 2. Определение конечной механической энергии перед столкновением
Дано, что скорость перед столкновением с землёй: ( v_2 = 60, \м/с ):
[ E_{кинетическая} = \frac{1}{2} m v_2^2 ]
Поскольку шар падает без учитывания сопротивления, полная механическая энергия должна оставаться постоянной, если бы не было потерь.
Шаг 3. Определение энергии, потерянной на тепло
Если вся разница между потенциальной энергией на вершине и кинетической энергии перед столкновением превращается в тепло, то:
[
\Delta E = \text{потерянная энергия} = E_{потенциальная} - E_{кинетическая}
]
подставляем числа:
[
E_{потенциальная} = m g h_1
]
[
E_{кинетическая} = \frac{1}{2} m v_2^2
]
Итак,
[
\Delta E = m g h_1 - \frac{1}{2} m v_2^2
]
Шаг 4. Выражение изменения температуры ( \Delta T )
Энергия, превращенная в тепло, вызывает нагрев шара:
[
Q = m c \Delta T
]
где (Q = \Delta E).
Тогда:
[
m c \Delta T = m g h_1 - \frac{1}{2} m v_2^2
]
Можно сократить ( m ):
[
c \Delta T = g h_1 - \frac{1}{2} v_2^2
]
Теперь выразим ( \Delta T ):
[
\Delta T = \frac{g h_1 - \frac{1}{2} v_2^2}{c}
]
Шаг 5. Подставляем числовые значения
[
g = 9.8, \м/с^2
]
[
h_1 = 800, \м
]
[
v_2 = 60, \м/с
]
[
c = 400, \Дж/(кг·°С)
]
Посчитаем числитель:
[
g h_1 = 9.8 \times 800 = 7840, \Дж/кг
]
[
\frac{1}{2} v_2^2 = 0.5 \times 60^2 = 0.5 \times 3600 = 1800, \Дж/кг
]
Следовательно,
[
\Delta T = \frac{7840 - 1800}{400} = \frac{6040}{400} = 15.1^\circ \text{C}
]
Ответ:
Температура шара увеличится примерно на 15.1°C за весь полет.
Если есть масса шара, можно уточнить конкретное увеличение температуры, умножив на массу.
