Давайте подробно решим задачу.
Дана функция пути:
[ S(t) = 4 \sin 3t ]
где
- ( S(t) ) — путь в метрах,
- ( t ) — время в секундах.
Задача:
Вычислить скорость точки в момент времени ( t_0 = \frac{\pi}{9} ).
Шаг 1: Найдём формулу скорости
Скорость — это первая производная пути по времени:
[ v(t) = \frac{dS}{dt} ]
Шаг 2: Найдём производную функции пути
Функция:
[ S(t) = 4 \sin 3t ]
Производная по правилу цепочки:
[
v(t) = \frac{d}{dt} [4 \sin 3t] = 4 \cdot \cos 3t \cdigher{(чтобы найти производную (\sin 3t), нужно умножить на внутри функции, то есть на 3)}
]
Итак:
[
v(t) = 4 \times 3 \cos 3t = 12 \cos 3t
]
Шаг 3: Подставим значение ( t_0 = \frac{\pi}{9} )
[ v \left( \frac{\pi}{9} \right) = 12 \cos \left( 3 \times \frac{\pi}{9} \right) = 12 \cos \left( \frac{3\pi}{9} \right) = 12 \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) ]
Известно:
[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} ]
Поэтому:
[
v \left( \frac{\pi}{9} \right) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ м/с}
]
Ответ:
Скорость точки в момент ( t_0 = \frac{\pi}{9} ) равна 6 м/с.
