Вычислите скорость точки, движущейся прямолинейно по зал кону S = 4sin 3t, в момент времени to = п/9 Здесь S -- путь (м), время (с).
Давайте подробно решим задачу.
Дана функция пути:
\[ S(t) = 4 \sin 3t \]
где
- \( S(t) \) — путь в метрах,
- \( t \) — время в секундах.
Задача:
Вычислить скорость точки в момент времени \( t_0 = \frac{\pi}{9} \).
Шаг 1: Найдём формулу скорости
Скорость — это первая производная пути по времени:
\[ v(t) = \frac{dS}{dt} \]
Шаг 2: Найдём производную функции пути
Функция:
\[ S(t) = 4 \sin 3t \]
Производная по правилу цепочки:
\[
v(t) = \frac{d}{dt} [4 \sin 3t] = 4 \cdot \cos 3t \cdigher{(чтобы найти производную \(\sin 3t\), нужно умножить на внутри функции, то есть на 3)}
\]
Итак:
\[
v(t) = 4 \times 3 \cos 3t = 12 \cos 3t
\]
Шаг 3: Подставим значение \( t_0 = \frac{\pi}{9} \)
\[ v \left( \frac{\pi}{9} \right) = 12 \cos \left( 3 \times \frac{\pi}{9} \right) = 12 \cos \left( \frac{3\pi}{9} \right) = 12 \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \]
Известно:
\[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \]
Поэтому:
\[
v \left( \frac{\pi}{9} \right) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ м/с}
\]
Ответ:
Скорость точки в момент \( t_0 = \frac{\pi}{9} \) равна 6 м/с.
