Найти предел функции: 1. lim 𝑥→∞ 5𝑥3−2𝑥2 + 2√𝑥23 − 4 3𝑥 − 4𝑥2−8𝑥3 + 3𝑥√𝑥 2. lim 𝑥→3 𝑥2 − 4𝑥 + 3 4 − √5𝑥 + 1 3. lim 𝑥→∞ (√𝑥2 + 3𝑥 − 2 − √𝑥2 − 2𝑥 + 3) 4. lim 𝑥→−2…

Давайте разберем каждый из лимитов по порядку, подробно объясняя каждый шаг.

---

1. \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x^2 + 2\sqrt{x^2} - 4}{3x - 4x^2 - 8x^3 + 3x\sqrt{x}}\)

Шаг 1. Анализ поведения при \(x \to \infty\).

• Наивысшей степенью в числителе является \(x^3\), потому что есть \(5x^3\).
• В знаменателе — также есть \(x^3\) (учитывая члены \(-8x^3\)).

Шаг 2. Упростим выражение, выделив \(x^3\).

• В числителе: \(5x^3 - 2x^2 + 2\sqrt{x^2}\). Заметим, \(\sqrt{x^2} = |x|\). Для \(x \to \infty\), \(|x| = x\).

Итак, числитель:
\(5x^3 - 2x^2 + 2x\).

• В знаменателе: \(3x - 4x^2 - 8x^3 + 3x \sqrt{x}\).
  Опять, \(\sqrt{x} = x^{1/2}\). Следовательно:
  \(3x \sqrt{x} = 3x \cdot x^{1/2} = 3x^{3/2}\), который при \(x \to \infty\) растет быстрее, чем \(x\) и \(x^2\).

Но главное — выделим \(x^3\):

\[ \text{знаменатель} = -8x^3 + (-4x^2) + 3x + 3x^{3/2} \]

Шаг 3. Делим числитель и знаменатель на \(x^3\).

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x^2 + 2x}{-8x^3 - 4x^2 + 3x + 3x^{3/2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^3}{x^3} - \frac{2x^2}{x^3} + \frac{2x}{x^3}}{\frac{-8x^3}{x^3} + \frac{-4x^2}{x^3} + \frac{3x}{x^3} + \frac{3x^{3/2}}{x^3}} \]

Это:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5 - 2/x + 2/x^2}{-8 - 4/x + 3/x^2 + 3/x^{3/2}} \]

При \(x \to \infty\), все дроби с нижним делителем, отличным от константы, уходят в 0:

\[ \frac{5 - 0 + 0}{-8 - 0 + 0 + 0} = \frac{5}{-8} = -\frac{5}{8} \]

Ответ для 1-го лимита: \(\boxed{-\frac{5}{8}}\).

---

2. \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x + 3}{4 - \sqrt{5x + 1}}\)

Шаг 1. Подставим значение \(x=3\) для проверки:

\[ \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 3}{4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1}} = \frac{9 - 12 + 3}{4 - \sqrt{15 + 1}} = \frac{0}{4 - \sqrt{16}} = \frac{0}{4 - 4} = \frac{0}{0} \]

Это неопределенность, значит нужно упростить.

Шаг 2. Факторизация числителя:

\[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \]

При \(x \to 3\), числитель → 0. Также, при \(x=3\):

\[ \sqrt{15 + 1} = \sqrt{16} = 4 \]

Знаменатель при \(x \to 3\):

\[ 4 - 4 = 0 \]

Это делается схоже с пределом вида \(\frac{0}{0}\), и можно применить замену или факторизацию.

Шаг 3. Распишем рациональное выражение:

\[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1)(x - 3)}{4 - \sqrt{5x + 1}} \]

Обратим внимание, что \((x - 3)\) — фактор в числителе, а в знаменателе \(\sqrt{5x + 1}\). Тогда попробуем выразить разность через сопряженное выражение для избавления от корня.

Используем формулу:

\[ 4 - \sqrt{5x + 1} = \frac{(4 - \sqrt{5x + 1})(4 + \sqrt{5x + 1})}{4 + \sqrt{5x + 1}} = \frac{16 - (5x + 1)}{4 + \sqrt{5x + 1}} = \frac{15 - 5x}{4 + \sqrt{5x + 1}} \]

Следовательно:

\[ \frac{(x - 1)(x - 3)}{4 - \sqrt{5x + 1}} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{\frac{15 - 5x}{4 + \sqrt{5x + 1}}} = \frac{(x - 1)(x - 3) \cdot (4 + \sqrt{5x + 1})}{15 - 5x} \]

Обратим внимание, что \(15 - 5x = 5(3 - x)\). Также заметим:

\[ (x - 3) = -(3 - x) \]

Тогда,

\[ \frac{(x - 1)(x - 3) (4 + \sqrt{5x + 1})}{15 - 5x} = \frac{-(x - 1)(3 - x) (4 + \sqrt{5x + 1})}{5 (3 - x)} = - \frac{(x - 1)(4 + \sqrt{5x + 1})}{5} \]

Прямо сейчас, подставим \(x \to 3\):

\[ x \to 3 \implies (x - 1) \to 2, \quad \sqrt{5 \cdot 3 + 1} = 4 \]

Тогда:

\[ - \frac{2 \cdot (4 + 4)}{5} = - \frac{2 \cdot 8}{5} = - \frac{16}{5} \]

Ответ для 2-го лимита: \(\boxed{-\frac{16}{5}}\).

---

3. \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - 2x + 3})\)

Шаг 1. Анализ поведения при \(x \to \infty\).

Свободных сомнений по поводу растущих первичных степеней — оба выражения внутри корней имеют \(x^2\), значит можно выделить \(x^2\):

\[ \sqrt{x^2 + 3x} = |x|\sqrt{1 + \frac{3}{x}} \] \[ \sqrt{x^2 - 2x + 3} = |x|\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} \]

При \(x \to \infty\), \(|x| = x\). Тогда:

\[ \text{выражение} = x \left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}\right) \]

Шаг 2. Расширение через разность корней.

Используем формулу:

\[ \sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} \]

Здесь:

\[ A = 1 + \frac{3}{x} \] \[ B = 1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \]

Тогда:

\[ \sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} \]

Посчитаем \(A - B\):

\[ A - B = \left(1 + \frac{3}{x}\right) - \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}\right) = \frac{3}{x} + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} = \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2} \]

Следовательно:

\[ \sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^2}}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} \]

Поскольку при \(x \to \infty\):

\[ \sqrt{A} \to 1, \quad \sqrt{B} \to 1 \]

то их сумма \(\to 2\).

Отсюда:

\[ x \left(\sqrt{A} - \sqrt{B}\right) \approx x \cdot \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^2}}{2} = \frac{1}{2} \left( 5 - \frac{3}{x} \right) \to \frac{5}{2} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{5}{2}}\).

---

4. \(\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 4x - 4}{16 - 2x - 5x^2}\)

Шаг 1. Подставим \(x = -2\):

• числитель:

\[ 3(-2)^2 + 4(-2) - 4 = 3 \cdot 4 - 8 - 4 = 12 - 8 - 4 = 0 \]

• знаменатель:

\[ 16 - 2(-2) - 5(-2)^2 = 16 + 4 - 5 \cdot 4 = 16 + 4 - 20 = 0 \]

Значит, есть неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Решаем через факторизацию.

Шаг 2. Раскроем числитель и знаменатель.

Числитель:

\[ 3x^2 + 4x - 4 \]

Знаменатель:

\[ 16 - 2x - 5x^2 \]

Попробуем факторизовать числитель. Найдем корни:

\[ 3x^2 + 4x - 4=0 \]

Дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \]

Корни:

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 8}{6} \]

• \(x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
• \(x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2\)

Тогда:

\[ 3x^2 + 4x - 4 = 3(x - \frac{2}{3})(x + 2) \]

Далее, знаменатель:

\[ 16 - 2x - 5x^2 \]

Перепишем:

\[ -5x^2 - 2x + 16 \]

Обратим знак:

\[ - (5x^2 + 2x - 16) \]

Найдем корни:

Дискриминант:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 4 + 320 = 324 \]

Корни:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 18}{10} \]

• \(x = \frac{-2 + 18}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\)
• \(x = \frac{-2 - 18}{10} = \frac{-20}{10} = -2\)

Значит, подразделение:

\[ 16 - 2x - 5x^2 = - (5x^2 + 2x - 16) = - (5(x - \frac{8}{5})(x + 2)) \]

Теперь выражение:

\[ \frac{3(x - \frac{2}{3})(x + 2)}{- (5(x - \frac{8}{5})(x + 2))} \]

Здесь есть общий множитель \(x + 2\), который в \(x \to -2\) стремится к 0 — так и было. Упростим:

\[ = - \frac{3(x - \frac{2}{3})}{5(x - \frac{8}{5})} \]

Подставляем \(x \to -2\):

\[ x = -2 \]

Числитель:

\[ 3\left(-2 - \frac{2}{3}\right) = 3 \left( -\frac{6}{3} - \frac{2}{3} \right) = 3 \left( -\frac{8}{3} \right) = -8 \]

Знаменатель:

\[ 5 \left(-2 - \frac{8}{5}\right) = 5 \left( -\frac{10}{5} - \frac{8}{5} \right) = 5 \left( -\frac{18}{5} \right) = -18 \]

Итог:

\[ - \frac{-8}{-18} = - \frac{8}{-18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \]

Ответ для 4-го лимита: \(\boxed{\frac{4}{9}}\).

---

Если потребуется дополнительное объяснение или помощь с каким-либо вопросом — обращайтесь!