В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 3 см. Известно, что сумма катетов равна 23 см. Найдите AB и найдите площадь треугольника ABC.
Рассмотрим задачу: В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 3 см. Дан условие, что сумма катетов равна 23 см. Нужно найти гипотенузу AB и площадь треугольника.
Обозначения:
- Катеты: AC и BC
- Гипотенуза: AB
Обозначим:
- \( AC = x \)
- \( BC = y \)
- \( AB = c \)
Известно:
- \( x + y = 23 \) (сумма катетов)
- Радиус вписанной окружности \( r = 3 \)
Шаг 1. Связь радиуса и сторон треугольника
В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности задаётся формулой:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза.
Подставим наши обозначения:
\[ 3 = \frac{x + y - c}{2} \]
Так как \( x + y = 23 \), получаем:
\[ 3 = \frac{23 - c}{2} \] \[ 6 = 23 - c \] \[ c = 23 - 6 = 17 \]
Итак, гипотенуза \( AB = c = 17 \) см.
Шаг 2. Найдём катеты \( x \) и \( y \)
Из условия \( x + y = 23 \), осталось определить \( x \) и \( y \).
Также в прямоугольном треугольнике:
\[ x^2 + y^2 = c^2 = 17^2 = 289 \]
Используя \( y = 23 - x \):
\[ x^2 + (23 - x)^2 = 289 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + (529 - 46x + x^2) = 289 \]
Объединим подобные члены:
\[ x^2 + 529 - 46x + x^2 = 289 \] \[ 2x^2 - 46x + 529 = 289 \]
Перенесём 289 в левую сторону:
\[ 2x^2 - 46x + 240 = 0 \]
Разделим всё на 2:
\[ x^2 - 23x + 120 = 0 \]
Решим квадратичное уравнение:
\[ x = \frac{23 \pm \sqrt{(-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120}}{2} \]
Рассчитаем дискриминант:
\[ D = 529 - 480 = 49 \]
Следовательно:
\[ x = \frac{23 \pm 7}{2} \]
Два решения:
- \[ x = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
- \[ x = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
Значит, возможные пары катетов:
- \( (x, y) = (15, 8) \)
- или \( (8, 15) \)
Шаг 3. Вычисление площади треугольника
Площадь прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times x \times y \]
Для пары \( (15, 8) \):
\[ S = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = \frac{1}{2} \times 120 = 60 \]
Аналогично, для пары \( (8, 15) \):
\[ S = 60 \]
Итоговые ответы:
- Гипотенуза AB: 17 см
- Площадь треугольника ABC: 60 см²
Если есть дополнительные вопросы — готов помочь!
