Рассмотрим задачу: В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 3 см. Дан условие, что сумма катетов равна 23 см. Нужно найти гипотенузу AB и площадь треугольника.
Обозначения:
- Катеты: AC и BC
- Гипотенуза: AB
Обозначим:
- ( AC = x )
- ( BC = y )
- ( AB = c )
Известно:
- ( x + y = 23 ) (сумма катетов)
- Радиус вписанной окружности ( r = 3 )
Шаг 1. Связь радиуса и сторон треугольника
В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности задаётся формулой:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза.
Подставим наши обозначения:
[
3 = \frac{x + y - c}{2}
]
Так как ( x + y = 23 ), получаем:
[
3 = \frac{23 - c}{2}
]
[
6 = 23 - c
]
[
c = 23 - 6 = 17
]
Итак, гипотенуза ( AB = c = 17 ) см.
Шаг 2. Найдём катеты ( x ) и ( y )
Из условия ( x + y = 23 ), осталось определить ( x ) и ( y ).
Также в прямоугольном треугольнике:
[
x^2 + y^2 = c^2 = 17^2 = 289
]
Используя ( y = 23 - x ):
[
x^2 + (23 - x)^2 = 289
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (529 - 46x + x^2) = 289
]
Объединим подобные члены:
[
x^2 + 529 - 46x + x^2 = 289
]
[
2x^2 - 46x + 529 = 289
]
Перенесём 289 в левую сторону:
[
2x^2 - 46x + 240 = 0
]
Разделим всё на 2:
[
x^2 - 23x + 120 = 0
]
Решим квадратичное уравнение:
[
x = \frac{23 \pm \sqrt{(-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120}}{2}
]
Рассчитаем дискриминант:
[
D = 529 - 480 = 49
]
Следовательно:
[
x = \frac{23 \pm 7}{2}
]
Два решения:
- [
x = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15
]
- [
x = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8
]
Значит, возможные пары катетов:
- ( (x, y) = (15, 8) )
- или ( (8, 15) )
Шаг 3. Вычисление площади треугольника
Площадь прямоугольного треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \times x \times y
]
Для пары ( (15, 8) ):
[
S = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = \frac{1}{2} \times 120 = 60
]
Аналогично, для пары ( (8, 15) ):
[
S = 60
]
Итоговые ответы:
- Гипотенуза AB: 17 см
- Площадь треугольника ABC: 60 см²
Если есть дополнительные вопросы — готов помочь!
