Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, апофема которой равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 30°.

Давайте подробно решим задачу по вычислению объёма правильной четырёхугольной пирамиды при заданных условиях. **Дано:** - Апофема пирамиды \( s = 16\, \text{см} \) - Угол между апофемой и плоскостью основания \( \alpha = 30^\circ \) **Требуется найти объём пирамиды \( V \).** --- ### Шаг 1. Визуальное представление и основные обозначения Для правильной четырёхугольной пирамиды основания — квадрат. Обозначим: - сторону основания: \( a \) - высоту пирамиды (от вершины перпендикуляр к основанию) — \( h \) - апофему — кусок, соединяющий вершину пирамиды с центром стороны основания, по условию: \( s = 16\, \text{см} \) - угол между апофемой и плоскостью основания — \( 30^\circ \) --- ### Шаг 2. Связь апофемы, высоты и угла Апофема является наклонной линией, соединяющей вершину пирамиды с центром основания, и образует угол \( 30^\circ \) с плоскостью основания. Графически: - Вершина пирамиды — точка \( V \) - Центр основания — точка \( O \) - Апофема \( s \) — от \( V \) к \( O \), наклонена под углом \( 30^\circ \) к плоскости основания --- ### Шаг 3. Найдём высоту \( h \) пирамиды По тригонометрии, если апофема \( s \) образует с плоскостью основания угол \( \alpha \), то его проекцию на плоскость основания — перпендикуляр: \[ h = s \sin \alpha \] Подставим значения: \[ h = 16 \times \sin 30^\circ = 16 \times \frac{1}{2} = 8\, \text{см} \] **Итак, высота пирамиды равна \( 8\, \textсм \).** --- ### Шаг 4. Найдём радиус основания \( R \) Апофема — гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором один катет — высота \( h \), а другой — радиус основания \( R \) (половина стороны квадрата), потому что апофема идет от вершины к центру основания, а основание — квадрат со стороной \( a \). Рассмотрим прямой треугольник, в котором: - гипотенуза — апофема \( s \) - один катет — высота \( h \) - другой катет — радиус основания \( R \) Из этого следует: \[ \cos \alpha = \frac{h}{s} \] Проверка: \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \] и \[ \frac{h}{s} = \frac{8}{16} = 0.5 \] Это не совпадает, значит апофема — не равна гипотенузе этого прямоугольного треугольника. Также, апофема — это наклонное расстояние от вершины к ребру основания, оно не равно (h или R). Тогда используем другой подход: --- ### Шаг 5. Связь апофемы, высоты и радиусов Апофема \( s \) — наклонная высота, сечение пирамиды по её боковой гранали — одинаковое. В частности, апофема равна: \[ s = \sqrt{h^2 + R^2} \] где \( R \) — радиус описанной окружности (для квадрата — полувыпуклая диагональ). Обозначим длину диагонали квадрата \( d \): \[ d = a \sqrt{2} \] и радиус вписанной окружности — \( r = a/2 \), а радиус описанной — \( R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \). Теперь соотносим апофему: \[ s = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{8^2 + \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^2} = \sqrt{64 + \frac{a^2}{2}} \] По условию, \( s = 16 \): \[ 16 = \sqrt{64 + \frac{a^2}{2}} \] Возводим обе части в квадрат: \[ 256 = 64 + \frac{a^2}{2} \] Отнимаем 64: \[ 192 = \frac{a^2}{2} \] Умножаем обе части на 2: \[ 384 = a^2 \] Следовательно: \[ a = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8 \sqrt{6} \, \text{см} \] --- ### Шаг 6. Находим объём пирамиды Объём правильной пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times h \] Площадь основания (квадрата): \[ S = a^2 = 384\, \text{см}^2 \] Высота: \[ h = 8\, \text{см} \] Итак, \[ V = \frac{1}{3} \times 384 \times 8 = \frac{1}{3} \times 3072 = 1024\, \text{см}^3 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Объём пирамиды} = \mathbf{1024\, \text{см}^3} } \] Если что-то осталось непонятным или нужно более подробно — спрашивайте!