Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, апофема которой равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 30°.
Давайте подробно решим задачу по вычислению объёма правильной четырёхугольной пирамиды при заданных условиях.
Дано:
- Апофема пирамиды \( s = 16\, \text{см} \)
- Угол между апофемой и плоскостью основания \( \alpha = 30^\circ \)
Требуется найти объём пирамиды \( V \).
Шаг 1. Визуальное представление и основные обозначения
Для правильной четырёхугольной пирамиды основания — квадрат.
Обозначим:
- сторону основания: \( a \)
- высоту пирамиды (от вершины перпендикуляр к основанию) — \( h \)
- апофему — кусок, соединяющий вершину пирамиды с центром стороны основания, по условию: \( s = 16\, \text{см} \)
- угол между апофемой и плоскостью основания — \( 30^\circ \)
Шаг 2. Связь апофемы, высоты и угла
Апофема является наклонной линией, соединяющей вершину пирамиды с центром основания, и образует угол \( 30^\circ \) с плоскостью основания.
Графически:
- Вершина пирамиды — точка \( V \)
- Центр основания — точка \( O \)
- Апофема \( s \) — от \( V \) к \( O \), наклонена под углом \( 30^\circ \) к плоскости основания
Шаг 3. Найдём высоту \( h \) пирамиды
По тригонометрии, если апофема \( s \) образует с плоскостью основания угол \( \alpha \), то его проекцию на плоскость основания — перпендикуляр:
\[ h = s \sin \alpha \]
Подставим значения:
\[ h = 16 \times \sin 30^\circ = 16 \times \frac{1}{2} = 8\, \text{см} \]
Итак, высота пирамиды равна \( 8\, \textсм \).
Шаг 4. Найдём радиус основания \( R \)
Апофема — гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором один катет — высота \( h \), а другой — радиус основания \( R \) (половина стороны квадрата), потому что апофема идет от вершины к центру основания, а основание — квадрат со стороной \( a \).
Рассмотрим прямой треугольник, в котором:
- гипотенуза — апофема \( s \)
- один катет — высота \( h \)
- другой катет — радиус основания \( R \)
Из этого следует:
\[ \cos \alpha = \frac{h}{s} \]
Проверка:
\[
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866
\]
и
\[ \frac{h}{s} = \frac{8}{16} = 0.5 \]
Это не совпадает, значит апофема — не равна гипотенузе этого прямоугольного треугольника.
Также, апофема — это наклонное расстояние от вершины к ребру основания, оно не равно (h или R). Тогда используем другой подход:
Шаг 5. Связь апофемы, высоты и радиусов
Апофема \( s \) — наклонная высота, сечение пирамиды по её боковой гранали — одинаковое. В частности, апофема равна:
\[ s = \sqrt{h^2 + R^2} \]
где \( R \) — радиус описанной окружности (для квадрата — полувыпуклая диагональ).
Обозначим длину диагонали квадрата \( d \):
\[ d = a \sqrt{2} \] и радиус вписанной окружности — \( r = a/2 \),
а радиус описанной — \( R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \).
Теперь соотносим апофему:
\[ s = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{8^2 + \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^2} = \sqrt{64 + \frac{a^2}{2}} \]
По условию, \( s = 16 \):
\[ 16 = \sqrt{64 + \frac{a^2}{2}} \]
Возводим обе части в квадрат:
\[ 256 = 64 + \frac{a^2}{2} \]
Отнимаем 64:
\[ 192 = \frac{a^2}{2} \]
Умножаем обе части на 2:
\[ 384 = a^2 \]
Следовательно:
\[ a = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8 \sqrt{6} \, \text{см} \]
Шаг 6. Находим объём пирамиды
Объём правильной пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times h \]
Площадь основания (квадрата):
\[ S = a^2 = 384\, \text{см}^2 \]
Высота:
\[ h = 8\, \text{см} \]
Итак,
\[ V = \frac{1}{3} \times 384 \times 8 = \frac{1}{3} \times 3072 = 1024\, \text{см}^3 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Объём пирамиды} = \mathbf{1024\, \text{см}^3} } \]
Если что-то осталось непонятным или нужно более подробно — спрашивайте!
