10
11
12
На клетчатой бумаге с размером
изображён
клетки
1x1
треугольник АВС. Найдите длину
его
медианы,
из вершины В.
Ответ:
выходящей
На рисунке изображён граф. Ваня обвёл этот граф, не
отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно
ребро дважды. С какой вершины Ваня начал обводить граф,
если он закончил его обводить в вершине С?
Ответ:
N
M
A
D
H
F
E
Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.
1) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе
этого треугольника.
2) Если два угла треугольника равны 50° и 60°, то третий угол равен 70°.
3) Существует точка плоскости, через которую нельзя провести ни одной прямой.
Ответ:
Давайте разберём каждый из ваших вопросов подробно.
---
### Задача 1: На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC.
Нужно найти длину его медианы, исходящей из вершины B.
**Дополнительные данные:**
- Размер клетки 1x1.
- На рисунке изображён треугольник ABC.
**Что такое медиана?**
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
**Шаги решения:**
1. Определите координаты вершин треугольника ABC на клетчатой плоскости. Для этого можно считать клетки отсчёта, например, вершина A в точке (x1, y1), B — (x2, y2), C — (x3, y3).
2. Найдите координаты середины стороны, противоположной вершине B, то есть середины отрезка AC:
\[
M_{AC} = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
\]
3. Рассчитайте длину медианы из B к точке M_{AC} с помощью формулы расстояния:
\[
BM_{AC} = \sqrt{\left( x_2 - \frac{x_1 + x_3}{2} \right)^2 + \left( y_2 - \frac{y_1 + y_3}{2} \right)^2}
\]
**Пример:**
Допустим, что вершина A в клетке (2, 3), B — (5, 5), C — (3, 8).
Тогда:
\[
M_{AC} = \left( \frac{2 + 3}{2}, \frac{3 + 8}{2} \right) = (2.5, 5.5)
\]
Расстояние:
\[
BM_{AC} = \sqrt{(5 - 2.5)^2 + (5 - 5.5)^2} = \sqrt{(2.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{6.25 + 0.25} = \sqrt{6.5} \approx 2.55
\]
Это — длина медианы, исходящей из вершины B.
---
### Задача 2: Граф и путь обводки.
Ваня обвёл граф, не отрывая карандаша и не проводя ребра дважды, и закончил в вершине C.
Нужно определить, с какой вершины он начал.
**Что это за задача?**
Это задание на поиск пути (или циклов) по графу, где каждый рёб тщательно проведён без повторений — это описание эйлерова пути.
**Подход к решению:**
- Если путь начинается в вершине, из которой выходит ровно один рёбер — он мог начать там.
- Т.к. он закончил в вершине C, возможный вариант — он начал в вершине, у которой число рёбер ровно нечётное.
- В случае эйлерова пути, граф имеет либо 0, либо 2 вершины с нечётным числом рёбер:
- Если две вершины — с нечётным числом рёбер, то путь идёт именно от одной к другой.
- Так как он начал в какой-то вершине и закончил в C, то стартовая вершина — это одна из двух, у которой нечётное число рёбер (если они есть).
**Ответ:**
- Посмотрите на граф и подсчитайте число рёбер из каждой вершины.
- Вершина, с которой он начал, — это вершина с нечётным числом рёбер, из которой стартовал путь, и он завершил в вершине C.
---
### Задача 3: Логические утверждения
**Укажите номер ложного высказывания:**
1) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе.
— **Верно**, потому что центр описанной окружности около прямоугольного треугольника — точка середины гипотенузы.
2) Если два угла треугольника равны 50° и 60°, то третий равен 70°.
— **Верно**, сумма углов треугольника — 180°, значит:
\[
180° - 50° - 60° = 70°
\]
3) Существует точка плоскости, через которую нельзя провести ни одной прямой.
— **Ложно**, потому что в любой точке плоскости можно провести бесконечно много прямых, проходящих через неё.
**Ответ:**
— **Номер 3** — это ложное высказывание.
---
Если необходимы более точные вычисления или дополнительные пояснения, присылайте рисунки или уточнения!
