Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 56 56 км/ч, а вторую — со скоростью 42 42 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти среднюю скорость при разной скорости движения на двух половинах пути.

Дано:

• Первая половина пути пройдена со скоростью \( V_1 = 56 \text{ км/ч} \)
• Вторая половина пути — со скоростью \( V_2 = 42 \text{ км/ч} \)

Что нужно найти:

• Средняя скорость за весь путь.

Шаг 1. Обозначим переменные

Обозначим длину каждого из двух участков пути как \( S_1 \) и \( S_2 \).
Из условия, что это половина пути, можно обозначить общий путь как \( S = S_1 + S_2 \), где:
\[ S_1 = S_2 \]

Пусть длина каждого участка равна \( L \). Тогда:
\[ S_1 = L, \quad S_2 = L \]

Общий путь:
\[ S = 2L \]

Шаг 2. Найдём время прохождения каждого участка

Время — это расстояние, делённое на скорость:

• Время на первую половину:
  \[ t_1 = \frac{L}{V_1} = \frac{L}{56} \]
• Время на вторую половину:
  \[ t_2 = \frac{L}{V_2} = \frac{L}{42} \]

Общее время:
\[ T = t_1 + t_2 = \frac{L}{56} + \frac{L}{42} \]

Шаг 3. Вычислим сумму при некотором общем знаменателе

Найти сумму:
\[ T = L \left( \frac{1}{56} + \frac{1}{42} \right) \]

Общий знаменатель для 56 и 42 — их НОК (наименьшее общее кратное).

Найдём НОК:

• Разложим на простые множители:
  \[ 56 = 2^3 \times 7 \] \[ 42 = 2 \times 3 \times 7 \]

• НОК — это произведение максимальных степеней простых множителей:
  \[ \text{НОК} = 2^3 \times 3 \times 7 = 8 \times 3 \times 7 = 168 \]

Теперь выражения:
\[ \frac{1}{56} = \frac{3}{168} \]
\[ \frac{1}{42} = \frac{4}{168} \]

Сумма:
\[ \frac{1}{56} + \frac{1}{42} = \frac{3}{168} + \frac{4}{168} = \frac{7}{168} \]

Общее время:
\[ T = L \times \frac{7}{168} = \frac{7L}{168} = \frac{L}{24} \]

Шаг 4. Найдём общий путь и среднюю скорость

Общий путь:
\[ S = 2L \]

Общее время:
\[ T = \frac{L}{24} \]

Средняя скорость \( V_{\text{ср}} \) задаётся формулой:
\[ V_{\text{ср}} = \frac{\text{Общий путь}}{\textье время} = \frac{S}{T} \]

Подставим значения:
\[ V_{\text{ср}} = \frac{2L}{\frac{L}{24}} = 2L \times \frac{24}{L} = 2 \times 24 = 48 \text{ км/ч} \]

Ответ:

Средняя скорость автомобиля на всём пути — 48 km/ч.