Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти среднюю скорость при разной скорости движения на двух половинах пути.
Дано:
- Первая половина пути пройдена со скоростью ( V_1 = 56 \text{ км/ч} )
- Вторая половина пути — со скоростью ( V_2 = 42 \text{ км/ч} )
Что нужно найти:
- Средняя скорость за весь путь.
Шаг 1. Обозначим переменные
Обозначим длину каждого из двух участков пути как ( S_1 ) и ( S_2 ).
Из условия, что это половина пути, можно обозначить общий путь как ( S = S_1 + S_2 ), где:
[ S_1 = S_2 ]
Пусть длина каждого участка равна ( L ). Тогда:
[ S_1 = L, \quad S_2 = L ]
Общий путь:
[ S = 2L ]
Шаг 2. Найдём время прохождения каждого участка
Время — это расстояние, делённое на скорость:
- Время на первую половину:
[ t_1 = \frac{L}{V_1} = \frac{L}{56} ]
- Время на вторую половину:
[ t_2 = \frac{L}{V_2} = \frac{L}{42} ]
Общее время:
[ T = t_1 + t_2 = \frac{L}{56} + \frac{L}{42} ]
Шаг 3. Вычислим сумму при некотором общем знаменателе
Найти сумму:
[ T = L \left( \frac{1}{56} + \frac{1}{42} \right) ]
Общий знаменатель для 56 и 42 — их НОК (наименьшее общее кратное).
Найдём НОК:
Разложим на простые множители:
[ 56 = 2^3 \times 7 ]
[ 42 = 2 \times 3 \times 7 ]
НОК — это произведение максимальных степеней простых множителей:
[ \text{НОК} = 2^3 \times 3 \times 7 = 8 \times 3 \times 7 = 168 ]
Теперь выражения:
[ \frac{1}{56} = \frac{3}{168} ]
[ \frac{1}{42} = \frac{4}{168} ]
Сумма:
[ \frac{1}{56} + \frac{1}{42} = \frac{3}{168} + \frac{4}{168} = \frac{7}{168} ]
Общее время:
[ T = L \times \frac{7}{168} = \frac{7L}{168} = \frac{L}{24} ]
Шаг 4. Найдём общий путь и среднюю скорость
Общий путь:
[ S = 2L ]
Общее время:
[ T = \frac{L}{24} ]
Средняя скорость ( V_{\text{ср}} ) задаётся формулой:
[ V_{\text{ср}} = \frac{\text{Общий путь}}{\textье время} = \frac{S}{T} ]
Подставим значения:
[ V_{\text{ср}} = \frac{2L}{\frac{L}{24}} = 2L \times \frac{24}{L} = 2 \times 24 = 48 \text{ км/ч} ]
Ответ:
Средняя скорость автомобиля на всём пути — 48 km/ч.
