Треугольник ABC- равнобедренный с основанием AC. Найдите площадь треугольника, если медиана BM равна 10 см, а боковая сторона равна 26см

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом. У нас есть равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \). В условии указано, что:

• \( BM \) — медиана, проведенная из вершины \( B \) к основанию \( AC \), равна 10 см.
• Боковая сторона \( AB = BC = 26 \) см.

Нам нужно найти площадь этого треугольника.

Шаг 1: Визуализация и обозначения

Обозначим:

• \( M \) — середина основания \( AC \).
• \( AB = BC = 26\, \text{см} \).
• \( BM = 10\, \textсм \).

Поскольку треугольник равнобедренный, то:

• \( A \) и \( C \) находятся по краям,
• \( M \) — середина \( AC \),
• \( B \) — вершина, вверху.

Шаг 2: Ввод координат

Для удобства, установим систему координат:

• Пусть \( A \) находится в точке \( (0, 0) \),
• \( C \) — в точке \( (a, 0) \), где \( a \) — длина основания \( AC \),
• \( M \) — середина \( AC \): \( M = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \),
• \( B = (x_b, y_b) \).

Известно:

• \( M \) — середина основания, и \( B \) — вершина.
• \( BM = 10 \), следовательно, \[ \sqrt{\left(x_b - \frac{a}{2}\right)^2 + y_b^2} = 10. \]

Также из условий:

• \( AB = 26 \), то есть \[ \sqrt{(x_b - 0)^2 + y_b^2} = 26, \]
• \( BC = 26 \), то есть \[ \sqrt{(x_b - a)^2 + y_b^2} = 26. \]

Шаг 3: Использование равенства \( AB = BC \)

Из двух равенств: \[ \sqrt{x_b^2 + y_b^2} = 26, \] \[ \sqrt{(x_b - a)^2 + y_b^2} = 26, \] вычитаем их для устранения \( y_b^2 \): \[ x_b^2 = (x_b - a)^2, \] распишем: \[ x_b^2 = x_b^2 - 2a x_b + a^2, \] откуда: \[ 0 = -2a x_b + a^2, \] \[ 2a x_b = a^2, \] \[ x_b = \frac{a}{2}. \]

Это говорит о том, что \( x_b \) равен \( \frac{a}{2} \), то есть вершина \( B \) находится строго над серединой основания, что соответствует симметрии.

Шаг 4: Использование второго уравнения

Теперь подставим \( x_b = \frac{a}{2} \) в уравнение для \( BM = 10 \):

\[ \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right)^2 + y_b^2} = 10, \] \[ \sqrt{0 + y_b^2} = 10, \] \[ | y_b | = 10, \] по условию \( y_b > 0 \) (вершина \(\ B \) расположена выше основания), получим:

\[ y_b = 10. \]

Теперь найдем \( a \) используя уравнение для \( AB \):

\[ \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (10)^2} = 26, \] \[ \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 100} = 26, \] возводим в квадрат:

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 100 = 676, \] \[ \frac{a^2}{4} = 576, \] \[ a^2 = 2304, \] \[ a = \sqrt{2304} = 48. \]

Итак, основание \( AC \) равно 48 см.

Шаг 5: Нахождение площади треугольника

Высоту \( h \) треугольника мы нашли — это \( y_b = 10 \).

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}, \] \[ S = \frac{1}{2} \times 48 \times 10 = 24 \times 10 = 240 \text{ см}^2. \]

Ответ:

Площадь треугольника равна \(\boxed{240\, \text{см}^2}\).