Реши квадратное неравенство

Рассмотрим задачу: решить неравенство \(-x^2 - 2x \leq 0\). Пошагово решим это неравенство. ### Шаг 1. Упростим выражение Начнем с преобразования, чтобы было удобнее: \[ -x^2 - 2x \leq 0 \] Можно умножить обе части неравенства на \(-1\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется: \[ x^2 + 2x \geq 0 \] Теперь задача сводится к решению неравенства: \[ x^2 + 2x \geq 0 \] --- ### Шаг 2. Найдем корни уравнения \(x^2 + 2x = 0\) Решим уравнение \(x^2 + 2x = 0\): - Вынесем \(x\) за скобку: \[ x(x + 2) = 0 \] - Корни уравнения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2 \] Эти значения делят числовую ось на три промежутка: - \((-\infty, -2)\) - \((-2, 0)\) - \((0, +\infty)\) --- ### Шаг 3. Исследуем знак выражения \(x^2 + 2x\) на каждом промежутке Так как это квадратное выражение, оно будет иметь форму параболы, открывающейся вверх (коэффициент перед \(x^2\) положительный). Корни: \(x = -2, 0\). В точках корней выражение равно 0. - В интервале \((-\infty, -2)\): Поставим, например, \(x = -3\): \[ (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 - 6 = 3 > 0 \] Значит, на этом промежутке выражение положительное. - В интервале \((-2, 0)\): Поставим, например, \(x = -1\): \[ (-1)^2 + 2 \times (-1) = 1 - 2 = -1 < 0 \] Значит, на этом промежутке выражение отрицательное. - В интервале \((0, +\infty)\): Поставим, например, \(x = 1\): \[ 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 > 0 \] Значит, на этом промежутке выражение положительное. --- ### Шаг 4. Вывод по неравенству \(x^2 + 2x \geq 0\) Итак, выражение: - положительно или равно нулю на интервалах \((-\infty, -2]\) и \([0, +\infty)\), - отрицательно между \(-2\) и 0. Требуется, чтобы выражение было **больше или равно нулю**, то есть: \[ x^2 + 2x \geq 0 \] Значит, решение: \[ x \in (-\infty, -2] \cup [0, +\infty) \] --- ### Ответ: **Решение неравенства \(-x^2 - 2x \leq 0\):** \[ \boxed{ x \in (-\infty, -2] \cup [0, +\infty) } \]