реши квадратное неравенство
Рассмотрим задачу: решить неравенство \(-x^2 - 2x \leq 0\).
Пошагово решим это неравенство.
Шаг 1. Упростим выражение
Начнем с преобразования, чтобы было удобнее:
\[ -x^2 - 2x \leq 0 \]
Можно умножить обе части неравенства на \(-1\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\[ x^2 + 2x \geq 0 \]
Теперь задача сводится к решению неравенства:
\[ x^2 + 2x \geq 0 \]
Шаг 2. Найдем корни уравнения \(x^2 + 2x = 0\)
Решим уравнение \(x^2 + 2x = 0\):
- Вынесем \(x\) за скобку:
\[ x(x + 2) = 0 \]
- Корни уравнения:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Эти значения делят числовую ось на три промежутка:
- \((-\infty, -2)\)
- \((-2, 0)\)
- \((0, +\infty)\)
Шаг 3. Исследуем знак выражения \(x^2 + 2x\) на каждом промежутке
Так как это квадратное выражение, оно будет иметь форму параболы, открывающейся вверх (коэффициент перед \(x^2\) положительный).
Корни: \(x = -2, 0\). В точках корней выражение равно 0.
- В интервале \((-\infty, -2)\):
Поставим, например, \(x = -3\):
\[ (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 - 6 = 3 > 0 \]
Значит, на этом промежутке выражение положительное.
- В интервале \((-2, 0)\):
Поставим, например, \(x = -1\):
\[ (-1)^2 + 2 \times (-1) = 1 - 2 = -1 < 0 \]
Значит, на этом промежутке выражение отрицательное.
- В интервале \((0, +\infty)\):
Поставим, например, \(x = 1\):
\[ 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 > 0 \]
Значит, на этом промежутке выражение положительное.
Шаг 4. Вывод по неравенству \(x^2 + 2x \geq 0\)
Итак, выражение:
- положительно или равно нулю на интервалах \((-\infty, -2]\) и \([0, +\infty)\),
- отрицательно между \(-2\) и 0.
Требуется, чтобы выражение было больше или равно нулю, то есть:
\[ x^2 + 2x \geq 0 \]
Значит, решение:
\[ x \in (-\infty, -2] \cup [0, +\infty) \]
Ответ:
Решение неравенства \(-x^2 - 2x \leq 0\):
\[ \boxed{ x \in (-\infty, -2] \cup [0, +\infty) } \]
