Конечно! Давайте найдем производную функции:
[ y = \left(\frac{x}{3} + 7\right)^6 ]
Я объясню шаг за шагом.
Шаг 1: Внимание к форме функции
Это функция, которая является композицией: внешняя — степень, внутренняя — линейная функция.
Обозначим внутреннюю функцию:
[ u = \frac{x}{3} + 7 ]
Тогда наша функция:
[ y = u^6 ]
Шаг 2: Найти производную внешней функции по ( u )
Производная ( y = u^6 ) по ( u ):
[ \frac{dy}{du} = 6u^5 ]
Шаг 3: Найти производную внутренней функции ( u ) по ( x )
[ u = \frac{x}{3} + 7 ]
Производная:
[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} ]
(так как производная константы 7 равна 0, а производная ( x/3 ) равна ( 1/3 ))
Шаг 4: По формуле цепочки найти производную ( y ) по ( x ):
[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} ]
Подставляем полученные выражения:
[ \frac{dy}{dx} = 6u^5 \times \frac{1}{3} = 2u^5 ]
Подставляем обратно ( u = \frac{x}{3} + 7 ):
[ \boxed{\frac{dy}{dx} = 2 \left(\frac{x}{3} + 7\right)^5} ]
Итог:
Производная функции:
[
\boxed{\frac{d}{dx} \left(\left(\frac{x}{3} + 7\right)^6 \right) = 2 \left(\frac{x}{3} + 7\right)^5}
]
Если нужно, могу объяснить подробнее любой из шагов!
