Реши

Давайте разберёмся с этим выражением по шагам. **Задача:** найти значение выражения \[ \left( \frac{a + 2b}{a^{2} - 2ab} - \frac{1}{a} \right): \frac{b}{2b - a} \] при заданных значениях: - \( a = 1.6 \) - \( b = \sqrt{2} - 1 \) --- ### Шаг 1: Упростим исходное выражение Обратим внимание, что деление — это умножение на обратное число: \[ \left( \frac{a + 2b}{a^{2} - 2ab} - \frac{1}{a} \right) : \frac{b}{2b - a} = \left( \frac{a + 2b}{a^{2} - 2ab} - \frac{1}{a} \right) \times \frac{2b - a}{b} \] ### Шаг 2: Упростим внутренние выражения - Обратим внимание, что: \[ a^{2} - 2ab = a(a - 2b) \] - Тогда: \[ \frac{a + 2b}{a^{2} - 2ab} = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} \] Итак, исходное выражение стало: \[ \left( \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} \right) \times \frac{2b - a}{b} \] --- ### Шаг 3: Объединим в скобках Обозначим: \[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} \] Приведем к общему знаменателю: \[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] так как: \[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] (сложное, но можно проверить, что так и есть). Проверим это: \[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)}? \] Но это неверно. Лучше привести обе дроби к одному знаменателю: \[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} \] Общий знаменатель: \( a(a - 2b) \) Перепишем вторую дробь: \[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] так как: \[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)}? \] Нет, это не так. Лучше переписать обе дроби на единый знаменатель: \[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] чтобы получить одинаковый знаменатель, найдём: \[ \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \quad \text{(второе выражение)}, \quad а это как? \] Но тут лучше преобразовать выражение так: \[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] потому что: \[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] почему так? Обратим внимание: \[ \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] поэтому, чтобы представить \(\frac{1}{a}\) с таким же знаменателем, требуется: \[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] Это неверно, так как: \[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \implies a - 2b = 1 \times (a - 2b) \implies \text{верно} \] но только если умножить верх и низ \(\frac{1}{a}\) на \((a - 2b)\): \[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \] в общем, это правильное преобразование. --- ### Шаг 4: Вычислим \(Q\): \[ Q = \frac{a + 2b - (a - 2b)}{a(a - 2b)} = \frac{a + 2b - a + 2b}{a(a - 2b)} = \frac{4b}{a(a - 2b)} \] ### Шаг 5: Вернёмся к полному выражению Теперь исходное выражение: \[ Q \times \frac{2b - a}{b} = \frac{4b}{a(a - 2b)} \times \frac{2b - a}{b} \] сократим \(b\): \[ = \frac{4b}{a(a - 2b)} \times \frac{2b - a}{b} = \frac{4(2b - a)}{a(a - 2b)} \] Обратите внимание, что: \[ a - 2b = -(2b - a) \] поэтому: \[ \frac{4(2b - a)}{a(a - 2b)} = \frac{4(2b - a)}{a \times (-(2b - a))} = - \frac{4(2b - a)}{a(2b - a)} = - \frac{4}{a} \] заткнем все в формулу и подставим численные значения. --- ### Шаг 6: Подставим \(a = 1.6\), \(b = \sqrt{2} - 1\) Введем: \[ b = \sqrt{2} - 1 \approx 1.4142 - 1 = 0.4142 \] Посчитаем: \[ 2b - a = 2 \times 0.4142 - 1.6 = 0.8284 - 1.6 = -0.7716 \] Тогда: \[ - \frac{4}{a} = - \frac{4}{1.6} = - 2.5 \] **Ответ:** \[ \boxed{-2.5} \] --- ### Итог: Значение выражения при данных параметрах равно **-2.5**. Если нужны еще разъяснения или дополнительные шаги, скажите!