реши
Давайте разберёмся с этим выражением по шагам.
Задача: найти значение выражения
\[ \left( \frac{a + 2b}{a^{2} - 2ab} - \frac{1}{a} \right): \frac{b}{2b - a} \]
при заданных значениях:
- \( a = 1.6 \)
- \( b = \sqrt{2} - 1 \)
Шаг 1: Упростим исходное выражение
Обратим внимание, что деление — это умножение на обратное число:
\[ \left( \frac{a + 2b}{a^{2} - 2ab} - \frac{1}{a} \right) : \frac{b}{2b - a} = \left( \frac{a + 2b}{a^{2} - 2ab} - \frac{1}{a} \right) \times \frac{2b - a}{b} \]
Шаг 2: Упростим внутренние выражения
- Обратим внимание, что:
\[ a^{2} - 2ab = a(a - 2b) \]
- Тогда:
\[ \frac{a + 2b}{a^{2} - 2ab} = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} \]
Итак, исходное выражение стало:
\[ \left( \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} \right) \times \frac{2b - a}{b} \]
Шаг 3: Объединим в скобках
Обозначим:
\[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
так как:
\[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
(сложное, но можно проверить, что так и есть).
Проверим это:
\[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)}? \]
Но это неверно. Лучше привести обе дроби к одному знаменателю:
\[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} \]
Общий знаменатель: \( a(a - 2b) \)
Перепишем вторую дробь:
\[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
так как:
\[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)}? \]
Нет, это не так. Лучше переписать обе дроби на единый знаменатель:
\[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
чтобы получить одинаковый знаменатель, найдём:
\[ \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \quad \text{(второе выражение)}, \quad а это как? \]
Но тут лучше преобразовать выражение так:
\[ Q = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{1}{a} = \frac{a + 2b}{a(a - 2b)} - \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
потому что:
\[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
почему так? Обратим внимание:
\[ \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
поэтому, чтобы представить \(\frac{1}{a}\) с таким же знаменателем, требуется:
\[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
Это неверно, так как:
\[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \implies a - 2b = 1 \times (a - 2b) \implies \text{верно} \]
но только если умножить верх и низ \(\frac{1}{a}\) на \((a - 2b)\):
\[ \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{a(a - 2b)} \]
в общем, это правильное преобразование.
Шаг 4: Вычислим \(Q\):
\[ Q = \frac{a + 2b - (a - 2b)}{a(a - 2b)} = \frac{a + 2b - a + 2b}{a(a - 2b)} = \frac{4b}{a(a - 2b)} \]
Шаг 5: Вернёмся к полному выражению
Теперь исходное выражение:
\[ Q \times \frac{2b - a}{b} = \frac{4b}{a(a - 2b)} \times \frac{2b - a}{b} \]
сократим \(b\):
\[ = \frac{4b}{a(a - 2b)} \times \frac{2b - a}{b} = \frac{4(2b - a)}{a(a - 2b)} \]
Обратите внимание, что:
\[ a - 2b = -(2b - a) \]
поэтому:
\[ \frac{4(2b - a)}{a(a - 2b)} = \frac{4(2b - a)}{a \times (-(2b - a))} = - \frac{4(2b - a)}{a(2b - a)} = - \frac{4}{a} \]
заткнем все в формулу и подставим численные значения.
Шаг 6: Подставим \(a = 1.6\), \(b = \sqrt{2} - 1\)
Введем:
\[ b = \sqrt{2} - 1 \approx 1.4142 - 1 = 0.4142 \]
Посчитаем:
\[ 2b - a = 2 \times 0.4142 - 1.6 = 0.8284 - 1.6 = -0.7716 \]
Тогда:
\[ - \frac{4}{a} = - \frac{4}{1.6} = - 2.5 \]
Ответ:
\[
\boxed{-2.5}
\]
Итог:
Значение выражения при данных параметрах равно -2.5.
Если нужны еще разъяснения или дополнительные шаги, скажите!
