Через точку M ребра SD пирамиды SABDC проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости (ABC). Найди объём отсечённой пирамиды, если объём пирамиды SABCD равен 216 и SM/MD=1/2

Рассмотрим задачу поэтапно:

###Исходные данные:

• Пирамида \(SABCD\) с основанием \(ABCD\).
• Объем пирамиды \(V_{SABCD} = 216\).
• В точке \(M\) на ребре \(SD\) проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости основания \(ABCD\).
• Отношение отрезка \(SM : MD = 1 : 2\).

Нам нужно найти объем отсеченной части пирамиды, которая образовалась при этом сечении.

Шаг 1: Анализ условия о точке \(M\) и соотношении \(SM : MD = 1 : 2\)

Пусть \(S\) — вершина пирамиды, \(D\) — одна из вершин основания, а \(M\) — точка на ребре \(SD\).

Так как отношение \(SM : MD = 1 : 2\), то длина отрезка \(SD\) делится в соотношении 1:2. Значит, точка \(M\) находится в одной трети пути от \(S\) до \(D\).

Т.к. \(SM : MD = 1 : 2\), то:

\[ SM = \frac{1}{3} SD, \quad MD = \frac{2}{3} SD \]

Шаг 2: Плоскость сечения параллельна основанию \(ABCD\)

Плоскость, которая проходит через точку \(M\) на ребре \(SD\) и параллельна основанию, делит пирамиду на две части — меньшую пирамиду, которая отсечена, и оставшуюся.

Так как сечение параллельно основанию, оно делит высоты пирамиды пропорционально. Так как \(M\) делит \(SD\) на части 1/3 и 2/3, то соответствующая высота новой, меньшей пирамиды, также равна 1/3 от полной высоты \(SH\).

Шаг 3: Установим отношение объемов

Объем пирамиды \(V_{SABCD} = 216\).

Параллельное сечение, проходящее по высоте, делит пирамиду на два объема:

• Меньшую пирамиду, которая "отсекается" — с вершиной на \(S\) и основанием, соответствующим сечению.
• Оставшуюся — с большим основанием.

Поскольку сечение делит высоту в отношении 1:2, объем меньшей части равен:

\[ V_{меньшей} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times V_{общей} \]

Обоснование: объем пирамиды, ограниченной плоскостью, параллельной основанию, пропорционален кубу отношения высот, потому что объем пирамиды пропорционален кубу радиуса, высоты или аналогичных мер.

Шаг 4: Вычисление объема отсеченной части

Площадь сечения пропорциональна коэффициенту \((1/3)^2 = 1/9\) для площади сечения, а объем — по кубу этой доли.

Отсюда:

\[ V_{отсеченной} = \frac{1}{27} \times V_{SABCD} = \frac{1}{27} \times 216 = 8 \]

Итог:

Объем отсечённой части пирамиды равен \(\boxed{8}\).

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить какой-либо шаг — скажите!