Задумали чётное трёхзначное число, которое делится на 21, и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 594. Какое число было задумано?

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждое действие. **Дано:** - Чётное трёхзначное число \( N \). - \( N \) делится на 21. - Последняя цифра \( N \) не равна нулю. - Из \( N \) вычли число, полученное теми же цифрами в обратном порядке, и результат — 594. Обозначим: - цифры числа \( N \) как \( a \), \( b \), \( c \), и тогда: \[ N = 100a + 10b + c \] - Тогда число, записанное его же цифрами в обратном порядке — это: \[ M = 100c + 10b + a \] По условию: \[ N - M = 594 \] или \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594 \] Рассчитаем разность: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594 \] Обратите внимание, что \( 10b \) и \( -10b \) сокращаются: \[ 100a - a + c - 100c = 594 \] \[ (100a - a) + (c - 100c) = 594 \] \[ 99a - 99c = 594 \] Выносим \( 99 \) за скобки: \[ 99(a - c) = 594 \] Делим обе части на 99: \[ a - c = \frac{594}{99} = 6 \] ***Значит:*** \[ a - c = 6 \] --- **Так как число \( N \) чётное, его последняя цифра \( c \) — чётная. Также, \( c \neq 0 \), согласно условию.** Значит, \( c \) — одна из: 2, 4, 6, 8. Рассмотрим возможные значения \( c \), чтобы получить \( a \): \[ a = c + 6 \] Проверим для каждого возможного \( c \): 1. \( c = 2 \Rightarrow a = 8 \) — допустимо, так как \( a \) — цифра, она должна быть от 1 до 9, и \( a = 8 \) — подходит. 2. \( c = 4 \Rightarrow a = 10 \) — нет, нельзя, потому что цифра не может быть больше 9. 3. \( c = 6 \Rightarrow a = 12 \) — невозможно по тому же принципу. 4. \( c = 8 \Rightarrow a = 14 \) — невозможно. *** **Следовательно, единственно подходящий вариант:** \[ a = 8, \quad c = 2 \] Теперь запишем число \( N \): \[ N = 100a + 10b + c = 100 \times 8 + 10b + 2 = 800 + 10b + 2 = 802 + 10b \] где \( b \) — одна цифра от 0 до 9. Ключевое условие — \( N \) делится на 21. Проверим делимость \( N \) на 21. Число делится на 21, если оно делится и на 3, и на 7. **Проверка делимости на 3:** Сумма цифр: \[ a + b + c = 8 + b + 2 = 10 + b \] Должна быть кратна 3: \[ (10 + b) \equiv 0 \pmod{3} \] Рассмотрим \( 10 + b \): \[ 10 \equiv 1 \pmod{3} \] Следовательно: \[ 1 + b \equiv 0 \pmod{3} \] Это значит: \[ b \equiv 2 \pmod{3} \] **Теперь проверим делимость на 7:** \( N = 802 + 10b \) Посчитаем по модулю 7: \[ 802 \div 7: \quad 7 \times 114 = 798; \quad 802 - 798 = 4 \] поэтому: \[ 802 \equiv 4 \pmod{7} \] Также: \[ 10b \equiv (10 \bmod 7) \times b \equiv 3b \pmod{7} \] Итого: \[ N \equiv 4 + 3b \pmod{7} \] Для делимости на 7: \[ 4 + 3b \equiv 0 \pmod{7} \] или \[ 3b \equiv -4 \equiv 3 \pmod{7} \] Поскольку \( 3b \equiv 3 \pmod{7} \), делим обе части на 3. Заметим, что 3 и 7 — взаимно просты, поэтому можем по модулю 7 умножить обе части на обратное число к 3. Обратное к 3 по модулю 7 — это 5, потому что \( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \). Умножим обе части на 5: \[ b \equiv 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \] То есть: \[ b \equiv 1 \pmod{7} \] Значит: \[ b = 1 \text{ или } 8 \] так как \( b \) — цифра от 0 до 9. Рассчитаем для каждого варианта: - \( b = 1 \) Проверим сумму для делимости на 3: \[ 10 + b = 10 + 1 = 11 \] \( 11 \div 3 \) — не делится, остаток 2. Тогда число не делится на 3, и, следовательно, не делится на 21. - \( b = 8 \) Проверим сумму: \[ 10 + 8 = 18 \] 18 делится на 3, хорошо. Значит, \( b = 8 \). Теперь, конкретное число: \[ N = 802 + 10 \times 8 = 802 + 80 = 882 \] Проверим делимость числа 882: - На 3: сумма цифр \( 8 + 8 + 2 = 18 \), делится на 3. - На 7: \( 882 \div 7 = 126 \), число делится на 7. Итак, \( 882 \) делится на 21. Проверим последние условия: - Последняя цифра \( c = 2 \neq 0 \), число четное. --- **Проверим вычисление:** Обратное число — это \( M = 100c + 10b + a = 100 \times 2 + 10 \times 8 + 8 = 200 + 80 + 8 = 288 \). Проверка: \[ N - M = 882 - 288 = 594 \] Верно, совпадает с данным в условии. --- **Ответ:** **Задуманное число — 882.**