Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Масса точки: ( m = 8,\text{г} = 0{,}008,\text{кг} )
- Период колебаний: ( T = 2,\text{с} )
- Начальная фаза: ( \varphi_0 = \pi/2 )
- Максимальная кинетическая энергия: ( K_{\text{max}} = 0{,}03,\text{Дж} )
Шаг 1: Найти амплитуду колебаний (A)
Понимание задачи:
В гармоническом движении кинетическая энергия меняется от нуля до максимума. Максимальная кинетическая энергия достигается, когда скорость максимальна, то есть при положении равном равнину (колебательный центр).
Шаг 2: Связь кинетической энергии с амплитудой колебаний
Кинетическая энергия в любой момент времени:
[
K = \frac{1}{2} m v^2
]
Максимальная кинетическая энергия достигается, когда ( v = v_{max} ):
[
K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2
]
Также, при гармоническом движении:
[
v_{max} = A \omega
]
где (\omega) — циклическая частота. Подставляем:
[
K_{max} = \frac{1}{2} m (A \omega)^2
]
Нам нужно найти (\omega). Для этого используем период (T):
[
\omega = \frac{2\pi}{T}
]
Подставим ( T = 2,\textс}:
[
\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi, \text{рад/с}
]
Шаг 3: Выражение для амплитуды
Из формулы для (K_{max}):
[
0,03 = \frac{1}{2} \times 0,008 \times (A \times \pi)^2
]
Перепишем уравнение:
[
0,03 = 0,004 \times \pi^2 \times A^2
]
Решим относительно (A^2):
[
A^2 = \frac{0,03}{0,004 \times \pi^2}
]
Вычислим самостоятельно:
[
0,004 \times \pi^2 \approx 0,004 \times 9,8696 \approx 0,039478
]
Тогда:
[
A^2 = \frac{0,03}{0,039478} \approx 0,759
]
Следовательно:
[
A = \sqrt{0,759} \approx 0,872,\text{м}
]
Ответ:
Амплитуда колебаний: примерно (\boxed{0,87,\text{м}}).
Если нужна дополнительная пояснение, с удовольствием объясню подробнее!
