В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, внешний угол при вершине A равен 120°. AB + AB = 21 см. Найти AC и AB

Давайте подробно разберем задачу шаг за шагом и найдем нужные стороны треугольника. **Дано:** - В треугольнике \( ABC \) прямой угол в точке \( C \). - Внешний угол при вершине \( A \) равен 120°. - Сумма двух сторон \( AB + AB = 21 \) см. Однако, скорее всего, есть опечатка, поскольку одна и та же сторона указана дважды. Обычно в такой задаче спрашивают сумму двух разных сторон, например, \( AC + BC = 21 \) см. Предположим, что так и есть, так как это более логично. --- ### Шаг 1: Определение условий - В треугольнике \( ABC \): - \( \angle C = 90^\circ \) (прямой угол). - Внешний угол при вершине \( A \) равен 120°. Напомним, что внешний угол при вершине \( A \) равен сумме двух несмежных внутренних углов, не являющихся подряд идущими к \( A \): \[ \text{Внешний угол при }A = 180^\circ - \angle A \] так как внешний угол равен \( 120^\circ \), то: \[ 180^\circ - \angle A = 120^\circ \] следовательно, \[ \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] **Итак, в треугольнике:** - \( \angle A = 60^\circ \), - \( \angle C = 90^\circ \), - Следовательно, \( \angle B = 30^\circ \), так как сумма углов треугольника равна 180°. --- ### Шаг 2: Обозначения сторон Обозначим стороны: - \( BC = a \), - \( AC = b \), - \( AB = c \). Поскольку \( C \) — прямой угол, то: \[ AB = c \quad \text{против гипотенузы} \quad, \] а стороны \( AC \) и \( BC \) — катеты. Известно, что: \[ \angle A = 60^\circ, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 90^\circ \] По свойствам прямоугольного треугольника: - Гипотенуза \( AB = c \). - \( AC \) — катет, против угла \( 30^\circ \). - \( BC \) — катет, против угла \( 60^\circ \). --- ### Шаг 3: Связь сторон по тригонометрии Для прямоугольных треугольников известны соотношения: - \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), - \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), и соответствующие стороны: - \( AC = b \) — против \( 30^\circ \); - \( BC = a \) — против \( 60^\circ \); - гипотенуза \( AB = c \). Отношения сторон: \[ b = AC = c \times \sin 30^\circ = c \times \frac{1}{2} \] \[ a = BC = c \times \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] ### Шаг 4: Используем условие суммы сторон Если предположить, что в условии ошибка и имелась в виду сумма катетов — \( AC + BC = 21 \) см. Тогда: \[ b + a = 21 \] Подставляем expressions: \[ \frac{c}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} c = 21 \] \[ c \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 21 \] Выносим \( c \): \[ c \times \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 21 \] Находим \( c \): \[ c = \frac{21 \times 2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{42}{1 + \sqrt{3}} \] Рационализируем знаменатель: \[ c = \frac{42}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{42 (1 - \sqrt{3})}{(1)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{42 (1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{42 (1 - \sqrt{3})}{-2} \] Следовательно: \[ c = -\frac{42}{2} (1 - \sqrt{3}) = -21 (1 - \sqrt{3}) \] Упростим: \[ c = -21 + 21 \sqrt{3} \] Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, возьмем абсолютное значение или рассмотрим знак: \[ c = 21 (\sqrt{3} - 1) \] Теперь можно найти стороны \( AC \) и \( BC \): - \( AC = \frac{c}{2} = \frac{21 (\sqrt{3} - 1)}{2} \), - \( BC = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 21 (\sqrt{3} - 1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \). --- ### Итог: Ответы \[ \boxed{ \begin{aligned} & \text{Гипотенуза } AB = c = 21 (\sqrt{3} - 1) \text{ см}, \\ & \text{Катет } AC = \frac{c}{2} = \frac{21 (\sqrt{3} - 1)}{2} \text{ см}, \\ & \text{Катет } BC = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 21 (\sqrt{3} - 1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}. \end{aligned} } \] --- Если нужно, я могу помочь с более точными числовыми значениями или с другими аспектами задачи!