В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, внешний угол при вершине A равен 120°. AB + AB = 21 см. Найти AC и AB

Давайте подробно разберем задачу шаг за шагом и найдем нужные стороны треугольника.

Дано:

• В треугольнике \( ABC \) прямой угол в точке \( C \).
• Внешний угол при вершине \( A \) равен 120°.
• Сумма двух сторон \( AB + AB = 21 \) см. Однако, скорее всего, есть опечатка, поскольку одна и та же сторона указана дважды. Обычно в такой задаче спрашивают сумму двух разных сторон, например, \( AC + BC = 21 \) см. Предположим, что так и есть, так как это более логично.

---

Шаг 1: Определение условий

• В треугольнике \( ABC \):
  • \( \angle C = 90^\circ \) (прямой угол).
  • Внешний угол при вершине \( A \) равен 120°.

Напомним, что внешний угол при вершине \( A \) равен сумме двух несмежных внутренних углов, не являющихся подряд идущими к \( A \): \[ \text{Внешний угол при }A = 180^\circ - \angle A \] так как внешний угол равен \( 120^\circ \), то: \[ 180^\circ - \angle A = 120^\circ \] следовательно, \[ \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

Итак, в треугольнике:

• \( \angle A = 60^\circ \),
• \( \angle C = 90^\circ \),
• Следовательно, \( \angle B = 30^\circ \), так как сумма углов треугольника равна 180°.

---

Шаг 2: Обозначения сторон

Обозначим стороны:

• \( BC = a \),
• \( AC = b \),
• \( AB = c \).

Поскольку \( C \) — прямой угол, то: \[ AB = c \quad \text{против гипотенузы} \quad, \] а стороны \( AC \) и \( BC \) — катеты.

Известно, что: \[ \angle A = 60^\circ, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 90^\circ \]

По свойствам прямоугольного треугольника:

• Гипотенуза \( AB = c \).
• \( AC \) — катет, против угла \( 30^\circ \).
• \( BC \) — катет, против угла \( 60^\circ \).

---

Шаг 3: Связь сторон по тригонометрии

Для прямоугольных треугольников известны соотношения:

• \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \),
• \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \),

и соответствующие стороны:

• \( AC = b \) — против \( 30^\circ \);
• \( BC = a \) — против \( 60^\circ \);
• гипотенуза \( AB = c \).

Отношения сторон: \[ b = AC = c \times \sin 30^\circ = c \times \frac{1}{2} \] \[ a = BC = c \times \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Шаг 4: Используем условие суммы сторон

Если предположить, что в условии ошибка и имелась в виду сумма катетов — \( AC + BC = 21 \) см. Тогда: \[ b + a = 21 \]

Подставляем expressions: \[ \frac{c}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} c = 21 \] \[ c \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 21 \]

Выносим \( c \): \[ c \times \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 21 \]

Находим \( c \): \[ c = \frac{21 \times 2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{42}{1 + \sqrt{3}} \]

Рационализируем знаменатель: \[ c = \frac{42}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{42 (1 - \sqrt{3})}{(1)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{42 (1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{42 (1 - \sqrt{3})}{-2} \]

Следовательно: \[ c = -\frac{42}{2} (1 - \sqrt{3}) = -21 (1 - \sqrt{3}) \]

Упростим: \[ c = -21 + 21 \sqrt{3} \]

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, возьмем абсолютное значение или рассмотрим знак: \[ c = 21 (\sqrt{3} - 1) \]

Теперь можно найти стороны \( AC \) и \( BC \):

• \( AC = \frac{c}{2} = \frac{21 (\sqrt{3} - 1)}{2} \),
• \( BC = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 21 (\sqrt{3} - 1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \).

---

Итог: Ответы

\[ \boxed{ \begin{aligned} & \text{Гипотенуза } AB = c = 21 (\sqrt{3} - 1) \text{ см}, \\ & \text{Катет } AC = \frac{c}{2} = \frac{21 (\sqrt{3} - 1)}{2} \text{ см}, \\ & \text{Катет } BC = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 21 (\sqrt{3} - 1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}. \end{aligned} } \]

---

Если нужно, я могу помочь с более точными числовыми значениями или с другими аспектами задачи!