1.Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, если В (3; 3). реши понятным решением.
Давайте разберём задачу пошагово и максимально понятно.
Задача:
Найти угол между лучом \ОВ\ и положительной полуосью \Ох, если точка \( В(3, 3) \).
Шаг 1: Что такое луч \ОВ?
Луч \ОВ\ — это всё, что идёт от точки \( О \) (начало координат) через точку \( В \), то есть, направленный в сторону точки \( В(3, 3) \).
Шаг 2: Что такое положительная полуось \Ох?
Плюс-ось \( \Ох \) — это горизонтальная ось, и она идёт вправо, начиная от точки \( О(0,0) \).
Шаг 3: Рассмотрим вектор, соответствующий лучу \ОВ\
Этот вектор — это радиус-вектор, и он определяется координатами точки \( В \): \[ \vec{OV} = (x, y) = (3, 3) \]
Шаг 4: Вектор по оси \( \Ох \)
Вектор по положительной полуоси \( \Ох \) — это вектор, указывающий вправо, например, вектор: \[ \vec{i} = (1, 0) \] Это направление — вправо вдоль оси \( x \).
Шаг 5: Нахождение угла между векторами
Чтобы найти угол \( \alpha \) между вектором \( \vec{OV} \) и вектором \( \vec{i} \), используется формула:
\[ \cos \alpha = \frac{\vec{OV} \cdot \vec{i}}{|\vec{OV}| \times |\vec{i}|} \]
где:
- \( \vec{OV} \cdot \vec{i} \) — скалярное произведение векторов,
- \( |\vec{OV}| \) — длина вектора \( \vec{OV} \),
- \( |\vec{i}| \) — длина вектора \( \vec{i} \).
Шаг 6: Вычисляем скалярное произведение
\[ \vec{OV} \cdot \vec{i} = (3) \times (1) + (3) \times (0) = 3 + 0 = 3 \]
Шаг 7: Находим длину векторов
- Для \( \vec{OV} = (3, 3) \):
\[ |\vec{OV}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
- Для \( \vec{i} = (1, 0) \):
\[ |\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \]
Шаг 8: Подставляем значения в формулу
\[ \cos \alpha = \frac{3}{3\sqrt{2} \times 1} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Шаг 9: Находим угол \( \alpha \)
Известно, что:
\[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = 45^\circ \]
или в радианах:
\[ \alpha = \frac{\pi}{4} \]
Ответ:
Угол между лучом \ОV\ и положительной полуосью \Ох\ равен \( \boxed{45^\circ} \).
