Давайте представим выражение ( 9a^2 + 48a + 64 ) в виде квадрата двучлена.
ШАГ 1. Общее представление задачи
Мы хотим найти двучлен вида ( (px + q)^2 ), который при раскрытии даст исходное выражение ( 9a^2 + 48a + 64 ).
ШАГ 2. Раскроем скобки
Если представить его как ( (ma + n)^2 ), то при раскрытии получим:
[ (ma + n)^2 = m^2 a^2 + 2mn a + n^2 ]
ШАГ 3. Сравнение коэффициентов
Из нашего выражения:
Коэффициент при ( a^2 ): ( 9 ) => ( m^2 = 9 ) => ( m = 3 ) или ( m = -3 )
Коэффициент при ( a ): ( 48 ) => ( 2mn = 48 )
Свободный член: ( 64 ) => ( n^2 = 64 ) => ( n = 8 ) или ( n = -8 )
ШАГ 4. Подбор подходящих значений ( m ) и ( n )
Рассмотрим варианты для ( m ):
Если ( m = 3 ):
Тогда ( 2 \times 3 \times n = 48 )
( 6n = 48 )
( n = 8 )
Также проверим ( n^2 ):
( 8^2 = 64 ), что совпадает.
Если ( m = -3 ):
Тогда ( 2 \times (-3) \times n = 48 )
( -6n = 48 )
( n = -8 )
Проверяем ( n^2 ):
( (-8)^2 = 64 ), всё сходится.
Итак, возможные варианты:
- ( (3a + 8)^2 )
- ( (-3a - 8)^2 ) (что равносильно ( (3a + 8)^2 ), так как возводим в квадрат)
ШАГ 5. Итоговая форма
Значит, исходное выражение можно представить как:
[ (3a + 8)^2 ]
ПРОВЕРКА: Раскроем полностью:
[ (3a + 8)^2 = 9a^2 + 2 \times 3a \times 8 + 64 = 9a^2 + 48a + 64 ]
Что идеально совпадает с исходным выражением.
Ответ:
[ 9a^2 + 48a + 64 = (3a + 8)^2 ]
