Давайте разберем эту задачу пошагово и подробно.
Дано:
- В квадрате (ABCD), точка (O) — середина стороны (CD).
- Радиус окружности (r = 5,5), центр которой в точке (O).
- Окружность проходит через вершину (A).
Нужно найти площадь квадрата (ABCD).
Обозначения и рассуждения:
Обозначим сторону квадрата как (a).
Координаты точек:
- Пусть квадрат расположен на координатной плоскости так, что его вершины имеют координаты:
[
A = (0, 0), \quad B = (a, 0), \quad C = (a, a), \quad D = (0, a)
]
Средина стороны (CD) — это точка (O):
[
C = (a, a), \quad D = (0, a)
]
Тогда:
[
O = \frac{C + D}{2} = \left(\frac{a + 0}{2}, a\right) = \left(\frac{a}{2}, a\right)
]
Радиус окружности равен 5,5, центр — (O). Окружность проходит через (A = (0,0)). Значит, расстояние от центра (O) до (A) равно радиусу 5,5:
[
|OA| = r = 5,5
]
Вычислим расстояние (OA):
[
OA = \sqrt{(0 - \frac{a}{2})^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{\sqrt{5a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}
]
Поскольку это равно радиусу:
[
\frac{a \sqrt{5}}{2} = 5,5
]
Решим уравнение относительно (a):
[
a \sqrt{5} = 2 \times 5,5 = 11
]
[
a = \frac{11}{\sqrt{5}}
]
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим numerator и denominator на (\sqrt{5}):
[
a = \frac{11}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{11 \sqrt{5}}{5}
]
Найдем площадь квадрата (ABCD):
Площадь квадрата:
[
S = a^2
]
Подставим наш выражение для (a):
[
a^2 = \left(\frac{11 \sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{(11)^2 \times (\sqrt{5})^2}{25} = \frac{121 \times 5}{25} = \frac{605}{25} = 24,2
]
Ответ:
Площадь квадрата (ABCD) равна (\boxed{24,2}) (квадратичных единиц).
Если нужно, я могу сделать расчет более точным или дать пояснения по любому шагу.
