При освещении катода светом с длинами волн сначала 440 нм, затем 680 нм обнаружили, что запирающий потенциал изменился в 3,3 раза. Определить работу выхода электрона, дано решение
Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти работу выхода электрона (пороговую энергию) при освещении катода светом разной длины волн.
Дано:
- Первая длина волны: \(\lambda_1 = 440\, \text{нм}\)
- Вторая длина волны: \(\lambda_2 = 680\, \text{нм}\)
- Изменение запирающего потенциала: в 3,3 раза
**Что нужно найти:**Работу выхода электрона \(A\).
1. Закон фотоэлектрического эффекта
При фотоэлектрическом эффекте энергией фотона является: \[ E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \] где:
- \(h\) — постоянная Планка: \(6,626 \times 10^{-34} \, \Дж \cdot \секунда\)
- \(c\) — скорость света: \(3 \times 10^{8} \,\м/с\)
- \(\lambda\) — длина волны в метрах
Энергия фотоэлектрона (выходного электрона): \[ E_{фото} = E_{\text{фотона}} - A \] где \(A\) — работа выхода.
2. Связь с запирающим потенциалом
Запирающий потенциал \(U_{z}\) — это напряжение, которое необходимо приложить, чтобы остановить электроны, то есть они достигли нулевой скорости. Энергия электрона при этом равна электрической энергии: \[ e U_z = E_{фото} \] где \(e\) — заряд электрона: \(1,602 \times 10^{-19}\, \Кл\).
Следовательно: \[ A = E_{фото} - e U_z \]
или \[ e U_z = E_{фото} - A \]
Так как \(A\) — постоянная величина, разность в запирающих потенциалах связана с разными длинами волн:
\[ \frac{U_{z,1}}{U_{z,2}} = \frac{E_{1} - A}{E_{2} - A} \]
Но зная, что электрон при освещении разной длиной волны требует разные запирающие потенциалы, и что соотношение их различий известно, нужно выразить работу выхода через изменение \(U_z\).
3. Используем данные о смене запирающего потенциала
- Пусть \(U_{z,1}\) — запирающий потенциал для \(\lambda_1=440\,\text{нм}\),
- \(U_{z,2}\) — для \(\lambda_2=680\,\text{нм}\).
Дано, что: \[ \frac{U_{z,1}}{U_{z,2}} = 3,3 \]
Энергии фотонов: \[ E_1 = \frac{hc}{\lambda_1}, \quad E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} \] подставим значения.
4. Вычислим энергии фотонов
Константы: \[ h c = 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8} \approx 1.9878 \times 10^{-25} \, \text{Дж} \cdot \text{м} \]
Переведем длины волн в метры:
- \(\lambda_1 = 440\, \text{нм} = 440 \times 10^{-9} \, \м \)
- \(\lambda_2 = 680\, \text{нм} = 680 \times 10^{-9} \, \м \)
Энергии фотонов: \[ E_1 = \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{440 \times 10^{-9}} = \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{4.4 \times 10^{-7}} \approx 4.52 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \]
\[ E_2 = \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{680 \times 10^{-9}} = \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{6.8 \times 10^{-7}} \approx 2.92 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \]
5. Связь потенциалов и энергий
Теперь запишем равенства для каждой ситуации: \[ e U_{z,1} = E_1 - A \] \[ e U_{z,2} = E_2 - A \]
Из этого следует: \[ \frac{U_{z,1}}{U_{z,2}} = \frac{E_1 - A}{E_2 - A} = 3,3 \]
Подставим числа: \[ \frac{E_1 - A}{E_2 - A} = 3,3 \]
\[ \frac{4.52 \times 10^{-19} - A}{2.92 \times 10^{-19} - A} = 3,3 \]
6. Решим уравнение относительно \(A\)
Обозначим: \[ A = x \times 10^{-19} \quad \text{(упростим для расчетов)} \]
Тогда: \[ \frac{4.52 - x}{2.92 - x} = 3,3 \] (здесь мы опустили умножение на \(10^{-19}\), так как оба числа в одной и той же единице.)
Решим:
\[ 4.52 - x = 3,3 (2.92 - x) \] \[ 4.52 - x = 3,3 \times 2.92 - 3,3 x \] \[ 4.52 - x = 9.636 - 3,3 x \]
Перенесем все влево:
\[ 4.52 - 9.636 = -3,3 x + x \] \[ -5.116 = -2,3 x \]
Найдем \(x\):
\[ x = \frac{5.116}{2,3} \approx 2.23 \]
Значит, работа выхода:
\[ A = 2.23 \times 10^{-19}\, \text{Дж} \]
7. Итог
Работа выхода электрона:
\[ \boxed{ A \approx 2.23 \times 10^{-19}\ \text{Дж} } \]
или в электронвольтах (\(1\, \textэВ = 1.602 \times 10^{-19}\, \text{Дж}\)):
\[ A \approx \frac{2.23 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 1.39\, \text{эВ} \]
Ответ:
Работа выхода электрона составляет примерно 1.39 эВ.
