К окружности с центром О проведена касательная FK (К - точка касания). найдите отрезок FK,если радиус окружности равен 14см и угол FOK= 45 градусам

Давайте рассмотрим задачу подробно. Итак, у нас есть окружность с центром O и радиусом 14 см. Через точку F, которая расположена вне окружности, проведена касательная FK, касающаяся окружности в точке K. Вы знаете, что угол FOK равен 45 градусам, где O — центр окружности, K — точка касания, а F — точка, через которую проведена касательная. Цель — найти длину отрезка FK. --- **Шаг 1: Построение и основные свойства** - О — центр окружности. - K — точка касания, тогда OK — радиус, соединяющий центр с точкой касания, равен 14 см. - F — точка вне окружности, через неё проведена касательная FK, которая касается окружности в K. - Угол FOK = 45°. Известно, что касательная в точке K к окружности перпендикулярна радиусу OK: \[ FK \perp OK \] **Шаг 2: Определение положения точки F** Т.к. F — точка вне окружности, и FK — касательная, проведенная из F, то FK является внешней касательной к окружности. Обозначим точку F и рассмотрим треугольник OFK. - Треугольник OFK — это треугольник, где: \[ \angle FOK = 45^\circ \] - В треугольнике OFK, стороны: - OK = 14 см (радиус) - OF — расстояние от точки F до центра O (нам нужно найти) - FK — касательная (найдём) --- **Шаг 3: Свойство касательной и радиуса** Поскольку FK — касательная, она перпендикулярна радиусу OK в точке K: \[ \angle KOF = 90^\circ \] Треугольник OFK содержит прямой угол в точке K. --- **Шаг 4: Использование известных данных** - В треугольнике OFK: \[ \angle FOK = 45^\circ \] - Один из углов при центре окружности — 45°, а другой — \(90^\circ\). В айти-классе много знаний по свойствам окружности и треугольников. --- **Шаг 5: Расчет расстояния OF** Рассмотрим треугольник OFK: он содержит прямой угол в K. - В этом треугольнике угол при F равен: \[ \angle OFK = 90^\circ \] - Тогда, по теореме косинусов или тригонометрии в треугольнике OFK: \[ \cos 45^\circ = \frac{OK}{OF} \] Поскольку: \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] И: \[ OK = 14\, \text{см} \] То есть: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{14}{OF} \] Отсюда: \[ OF = \frac{14 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{28}{\sqrt{2}} = 14 \sqrt{2} \text{ см} \] --- **Шаг 6: Расчет длины FK** Обозначим: - \(OF = 14\sqrt{2}\) см — расстояние от F до центра O. - OK = 14 см — радиус. - То, что нам нужно — длина касательной FK. Рассмотрим треугольник OFK: он содержит прямой угол в K и вершины F и O. Треугольник OFK прямой в K, а из свойства касательной: \[ FK = \sqrt{OF^2 - OK^2} \] Поскольку в этом треугольнике: \[ FK^2 = OF^2 - OK^2 \] Подставим значения: \[ FK^2 = (14\sqrt{2})^2 - 14^2 \] Вычислим отдельно: \[ (14\sqrt{2})^2 = 14^2 \times 2 = 196 \times 2 = 392 \] и \[ 14^2 = 196 \] Следовательно, \[ FK^2 = 392 - 196 = 196 \] Итак, \[ FK = \sqrt{196} = 14\, \text{см} \] --- **Ответ:** \[ \boxed{14\, \text{см}} \] **Итак, длина отрезка FK равна 14 см.**