Даны точки A (2; 3; -1); B (0; 1; 2); C (4; -1; -1); D (2; -3; 1) Найти косинусы углов между векторами АВ и ВС ВС и СД

Давайте по шагам решим задачу.

Дано:

• Точки:
  • \(A(2, 3, -1)\)
  • \(B(0, 1, 2)\)
  • \(C(4, -1, -1)\)
  • \(D(2, -3, 1)\)

Задача:

• Найти косинусы углов между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\), а также между \(\vec{ВС}\) и \(\vec{СД}\).

---

Шаг 1: Найти векторы

Чтобы найти векторы, из координат точек вычитаем координаты начальной точки из конечной:

\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (0 - 2, 1 - 3, 2 - (-1)) = (-2, -2, 3) \]

\[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (4 - 0, -1 - 1, -1 - 2) = (4, -2, -3) \]

\[ \vec{ВС} = \vec{C} - \vec{V} = (4 - 0, -1 - 1, -1 - 2) = (4, -2, -3) \quad \text{(повторно для другого угла)} \]

Обратите внимание, что \(\vec{BC}\) и \(\vec{ВС}\) — это одни и те же векторы, так как они направлены из \(B\) в \(C\) и из \(C\) в \(B\). Видимо, имелось в виду найти угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\), а также между \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\).

Предположу, что правильное задание — найти угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\), а также между \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\). Тогда:

• \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\)—угол при вершине \(B\).
• \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\)—угол при вершине \(C\).

Тогда:

\[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (2 - 4, -3 - (-1), 1 - (-1)) = (-2, -2, 2) \]

---

Шаг 2: Формула вычисления косинуса угла между векторами

Косинус угла \(\theta\) между двумя векторами \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\):

\[ \cos{\theta} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} \]

где:

• \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) — скалярное произведение,
• \(\|\vec{u}\|\) — длина вектора \(\vec{u}\).

---

Шаг 3: Вычислим нужные скалярные произведения и длины

Для угла между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\):

\[ \vec{AB} = (-2, -2, 3) \] \[ \vec{BC} = (4, -2, -3) \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-2) \times 4 + (-2) \times (-2) + 3 \times (-3) = -8 + 4 - 9 = -13 \]

Длина вектора \(\vec{AB}\):

\[ \|\vec{AB}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17} \]

Длина вектора \(\vec{BC}\):

\[ \|\vec{BC}\| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29} \]

Косинус угла:

\[ \cos{\theta_1} = \frac{-13}{\sqrt{17} \times \sqrt{29}} = \frac{-13}{\sqrt{17 \times 29}} \]

---

Для угла между \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\):

\[ \vec{BC} = (4, -2, -3) \] \[ \vec{CD} = (-2, -2, 2) \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 4 \times (-2) + (-2) \times (-2) + (-3) \times 2 = -8 + 4 - 6 = -10 \]

Длина \(\vec{CD}\):

\[ \|\vec{CD}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Косинус угла:

\[ \cos{\theta_2} = \frac{-10}{\sqrt{29} \times 2\sqrt{3}} = \frac{-10}{2 \sqrt{87}} = \frac{-5}{\sqrt{87}} \]

---

Итоги:

\[ \boxed{ \cos{\theta_1} = \frac{-13}{\sqrt{17 \times 29}} \quad \text{(угол между } \vec{AB} \text{ и } \vec{BC}\text{)} \\ \cos{\theta_2} = \frac{-5}{\sqrt{87}} \quad \text{(угол между } \vec{BC} \text{ и } \vec{CD}\text{)} } \]

Если нужно, могу помочь с вычислением численных значений или разобрать подробнее!