Задание 1 (25 баллов). На газовой конфорке собираются расплавить 100 г льда, взятого при температуре —12 °С, и довести полученную воду до кипения. Для этого есть возможность…
Задание 1 (25 баллов). На газовой конфорке собираются расплавить 100 г льда, взятого при температуре —12 °С, и довести полученную воду до кипения. Для этого есть возможность использовать два котелка одинаковой массы 50 г, один выполнен из стали, второй — из меди. Каким котелком лучше воспользоваться, чтобы быстрее провести указанные действия? Во сколько раз будут отличаться затраченные количества теплоты в опыте с первым и со вторым котелком? Условия проведения опытов считать одинаковыми, теплопотерями пренебречь.
Давайте подробно разберём задачу поэтапно.
Шаг 1. Постановка задачи
Нам нужно:
- расплавить 100 г льда, изначально при температуре —12 °С,
- затем довести полученную воду до кипения (то есть нагреть её до 100 °С).
Используем два котелка: из стали и из меди, оба массой по 50 г. Нужно определить:
- каким котелком лучше воспользоваться, чтобы быстрее провести нагрев,
- насколько отличаются затраты теплоты при использовании каждого котелка.
Шаг 2. Расчёт необходимых теплот, чтобы довести лед до кипения
Для каждого этапа определим затраты тепла:
\[ Q = mc \Delta T \]
где:
- \( m \) — масса (граммы),
- \( c \) — теплоёмкость материала,
- \( \Delta T \) — изменение температуры.
Допустим, что теплоёмкости котелка и воды существенны, но в задаче сказано, что теплопотери пренебрежим, а условия равны, так что теплоты, затраченные непосредственно на воду, мы сосчитаем по теплоемкостям воды и льда.
Шаг 3. Тепло, необходимое для нагрева льда от —12 °С до 0 °С
\[ Q_1 = m_{льда} \times c_{льда} \times \Delta T \]
где \( c_{льда} = 2{,}09 \ \кг^\circС/кГл \).
Масса льда \( m_{льда} = 0{,}1 \ кг \).
\[ Q_1 = 0{,}1 \times 2{,}09 \times (0 - (-12)) = 0{,}1 \times 2{,}09 \times 12 = 0{,}1 \times 25{,}08 = 2{,}508 \ \кДж \]
Шаг 4. Тепло, чтобы расплавить лед при 0 °С в воду
Переход из льда в воду при 0 °С — теплотой плавления льда:
\[ Q_2 = m_{льда} \times L_{плавления} \]
где \( L_{плавления} \approx 333 \ \кДж/кг \).
\[ Q_2 = 0{,}1 \times 333 = 33{,}3 \ \кДж \]
Шаг 5. Тепло, чтобы нагреть воду от 0 °С до 100 °С
\[ Q_3 = m_{вода} \times c_{воды} \times \Delta T \]
где \( c_{воды} = 4{,}18 \ \кДж/(кг \cdёС) \),
\[ Q_3 = 0{,}1 \times 4{,}18 \times (100 - 0) = 0{,}1 \times 4{,}18 \times 100 = 41{,}8 \ \кДж \]
Итог — тепловая энергия для нагрева и плавления льда:
\[ Q_{общ} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 2{,}508 + 33{,}3 + 41{,}8 \approx 77{,}6 \ \кДж \]
Это — минимальное количество теплоты, которое нужно передать.
Шаг 6. Влияние котелка
Теплоёмкость котелка определяется его теплоёмкостью \( C_{котелка} \):
\[ C_{котелка} = m_{котелка} \times c_{материал} \]
- Для стали: \( c_{сталь} \approx 0{,}50 \ \кДж/(кг \cdot ^\circ С) \)
- Для меди: \( c_{медь} \approx 0{,}39 \ \кДж/(кг \cdot ^\circ С) \)
Масса котелка: 50 г = 0,05 кг.
Теплоёмкость каждого котелка:
\[ C_{сталь} = 0,05 \times 0,50 = 0,025 \ \кДж/^\circ С \] \[ C_{медь} = 0,05 \times 0,39 = 0,0195 \ \кДж/^\circ С \]
Общая теплоёмкость системы (котелок + вода/лед) + их взаимодействие важны. Пока что предположим, что разность в теплопроводности материала влияет на скорость нагрева, а не на количество затраченной энергии, т.к. задано, что условие одинаковое и теплопотери пренебрежены.
Шаг 7. Время нагрева и эффективность
Меньшая теплоёмкость — тем быстрее нагреется содержимое. Медь имеет меньшую теплоёмкость, значит котелок из меди быстрее нагревается и передает тепло.
Вывод:
— Медный котелок лучше, так как он быстрее нагревается за счёт меньшей теплоёмкости.
Шаг 8. Отношение затраченных теплот
Теплота, передаваемая котелку — это сумма тепла, которое он сам поглощает, и тот объём тепла, который передается воде или льду.
Поскольку теплоёмкости котелков отличаются, и тепловое сопротивление мало, то основной вклад в затраты — в либо теплоёмкость жидкости и льда, либо в затраты тепла котелка на нагрев.
Однако, в задаче указано, что теплопотери пренебречь, значит, всё равномерно. Тогда тепловой вклад, связанный с нагревом котелка, пропорционален его теплоёмкости.
Соответственно, затраты тепла для меди и стали отличаются в отношении их теплоёмкостей:
\[ \frac{Q_{сталь}}{Q_{медь}} \approx \frac{C_{сталь}}{C_{медь}} = \frac{0,025}{0,0195} \approx 1{,}28 \]
Итоговые ответы:
- Лучше воспользоваться медным котелком, так как он нагревается быстрее благодаря меньшей теплоёмкости.
- Отношение затраченных тепловых затрат в опыте с первым и вторым котелком ~ 1,28 (то есть, при использовании стального котелка потребуется примерно на 28% больше энергии, чем при использовании медного).
Если нужно, я могу подготовить краткий итог или объяснить более подробно отдельные моменты!
