к окружности с центром О проведена касательная AB (A - точка касания. ) найдите радиус окружности если OB=10 см и ABO = 30°
Давайте по шагам решим задачу.
Дано:
- Окружность с центром \( O \)
- Точка касания \( A \), которая лежит на окружности
- Там же проведена касательная \( AB \), где \( A \) — точка касания
- \( OB = 10\,\text{см} \)
- Угол \( \angle ABO = 30^\circ \)
Найти: радиус окружности \( R \)
Шаг 1: Что известно и что надо найти?
- \( OA = R \) (радиус, он же длина от центра \( O \) до точки касания \( A \))
- \( OB = 10\,\text{см} \) — длина от центра \( O \) до точки \( B \), которая, судя по условию, находится на касательной \( AB \) или как точка на продолжении касательной
- \( \angle ABO = 30^\circ \)
Важно: поскольку касательная \( AB \) касается окружности в точке \( A \), то радиус \( OA \) перпендикулярен касательной \( AB \). То есть:
\[ OA \perp AB \]
Шаг 2: Построение вспомогательной схемы
- \( O \) — центр окружности
- \( A \) — точка касания, на окружности
- \( B \) — точка, соответствующая условию, на касательной
- \( \angle ABO = 30^\circ \)
Обозначим:
- \( R = OA \) — радиус
- \( O, A, B \) — точки, причем \( A \) лежит на окружности, \( B \) на касательной
Из условия у нас есть треугольник \( OAB \), в нем:
\[ \angle ABO = 30^\circ \]
Шаг 3: Использование свойств касательной
- \( OA \) перпендикулярно \( AB \)
- Тогда в треугольнике \( OAB \):
\[ \angle OAB = 90^\circ \]
следовательно, треугольник \( OAB \) прямоугольный, в вершине \( A \).
Шаг 4: Анализ треугольника \( OAB \)
В треугольнике \( OAB \):
- \( OA = R \) (по радиусу)
- \( OB = 10\,\text{см} \)
- \( \angle ABO = 30^\circ \)
Так как \( \angle OAB = 90^\circ \), то \( \angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
(потому что сумма углов треугольника равна 180°, и,
\[ \angle AOB + \angle ABO + \angle BAO = 180^\circ \]
здесь, \( \angle BAO \) это 90°, тогда
\[ \angle AOB + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] \[ \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Шаг 5: Теперь используем косинус для нахождения \( R \)
В треугольнике \( OAB \):
\[ OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2 \cdot OA \cdot AB \cdot \cos \angle OAB \]
Но есть более удобное решение:
Поскольку есть прямой угол \( A \), то в треугольнике \( OAB \):
\[ AB = R \cdot \tan \angle OAB \]
(так как в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \( R \), и прилежащим к углу \( \angle OAB \), тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета \( AB \) к прилежащему \( OA = R \)).
Но так как у нас \( \angle OAB = 90^\circ \), это не подходит. Проведем иначе.
Шаг 6: Упростим с помощью тригонометрии
Рассмотрим треугольник \( OAB \) с известными сторонами и углами.
Из них:
\[ \cos \angle ABO = \frac{OB}{AB} \]
Но у нас есть:
\[ OB = 10\,\text{см} \] \[ \angle ABO = 30^\circ \]
и, поскольку \( \angle ABO \) — это угол при \( B \), рассмотрим:
\[ \sin 30^\circ = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} \]
или
\[ \cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]
Шаг 7: Важное уточнение
Обратите внимание: касательная к окружности в точке \( A \) и центр \( O \) образуют угол, равный 90°, а радиус \( OA \) перпендикулярен касательной \( AB \).
Если точка \( B \) — любая точка на касательной, то:
- \( \angle OAB = 90^\circ \),
- \( OB = 10\,\text{см} \),
- \( \angle ABO = 30^\circ \).
Треугольник \( OAB \) — прямоугольный, где:
\[ \angle OAB = 90^\circ, \] и у нас есть гипотенуза \( OB = 10\,\text{см} \).
Рассмотрим треугольник \( OAB \):
- гипотенуза — \( OB \),
- один из острых углов — \( 30^\circ \).
В таком случае, отношение сторон:
\[ AB = OB \cdot \sin 30^\circ = 10 \times 0,5 = 5\,\textсм} \]
и
\[ OA = R \]
Выясним длину \( AB \) с помощью соотношений.
Итог: Анализ
Вправду, для прямого угла - угол \( OAB = 90^\circ \), мы можем использовать тригонометрию для треугольника \( OAB \):
\[ \sin 30^\circ = \frac{AB}{OB} = \frac{AB}{10} \] \[ AB = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times 0.5 = 5\,\textсм} \]
Так как \( AB \) — касательная, и \( A \) — точка касания, то:
\[ OA \perp AB \]
В прямоугольном треугольнике \( OAB \):
\[ R = OA \]
Рассмотрим треугольник \( OAB \):
- \( OA \) — радиус, \( R \),
- \( AB = 5\,\textсм} \),
- \( OB = 10\,\textсм} \),
- \( \angle AOB = 60^\circ \).
Используем Закон Косинусов для \( \triangle OAB \):
\[ OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2 \cdot OA \cdot AB \cdot \cos \angle AOB \] \[ 10^2 = R^2 + 5^2 - 2 \cdot R \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ \] \[ 100 = R^2 + 25 - 2 \cdot R \cdot 5 \times 0.5 \] \[ 100 = R^2 + 25 - (2 \cdot R \times 5 \times 0.5) = R^2 + 25 - 5 R \] \[ 100 - 25 = R^2 - 5 R \] \[ 75 = R^2 - 5 R \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ R^2 - 5 R - 75 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ R = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-75)}}{2} \]
\[ R = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 300}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{325}}{2} \]
\[ \sqrt{325} \approx 18.03 \]
Итак,
\[ R \approx \frac{5 \pm 18.03}{2} \]
Смотрим положительный вариант:
\[ R \approx \frac{5 + 18.03}{2} = \frac{23.03}{2} \approx 11.52\,\textсм} \]
Положительный радиус — это единственный смысловой вариант.
Ответ:
Радиус окружности примерно \( \boxed{11.5\,\text{см}} \).
