К окружности с центром О проведена касательная AB (A - точка касания. ) найдите радиус окружности если OB=10 см и ABO = 30°

Давайте по шагам решим задачу. **Дано:** - Окружность с центром \( O \) - Точка касания \( A \), которая лежит на окружности - Там же проведена касательная \( AB \), где \( A \) — точка касания - \( OB = 10\,\text{см} \) - Угол \( \angle ABO = 30^\circ \) **Найти:** радиус окружности \( R \) --- ### Шаг 1: Что известно и что надо найти? - \( OA = R \) (радиус, он же длина от центра \( O \) до точки касания \( A \)) - \( OB = 10\,\text{см} \) — длина от центра \( O \) до точки \( B \), которая, судя по условию, находится на касательной \( AB \) или как точка на продолжении касательной - \( \angle ABO = 30^\circ \) **Важно:** поскольку касательная \( AB \) касается окружности в точке \( A \), то радиус \( OA \) перпендикулярен касательной \( AB \). То есть: \[ OA \perp AB \] --- ### Шаг 2: Построение вспомогательной схемы - \( O \) — центр окружности - \( A \) — точка касания, на окружности - \( B \) — точка, соответствующая условию, на касательной - \( \angle ABO = 30^\circ \) Обозначим: - \( R = OA \) — радиус - \( O, A, B \) — точки, причем \( A \) лежит на окружности, \( B \) на касательной Из условия у нас есть треугольник \( OAB \), в нем: \[ \angle ABO = 30^\circ \] --- ### Шаг 3: Использование свойств касательной - \( OA \) перпендикулярно \( AB \) - Тогда в треугольнике \( OAB \): \[ \angle OAB = 90^\circ \] следовательно, треугольник \( OAB \) прямоугольный, в вершине \( A \). --- ### Шаг 4: Анализ треугольника \( OAB \) В треугольнике \( OAB \): - \( OA = R \) (по радиусу) - \( OB = 10\,\text{см} \) - \( \angle ABO = 30^\circ \) Так как \( \angle OAB = 90^\circ \), то \( \angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) (потому что сумма углов треугольника равна 180°, и, \[ \angle AOB + \angle ABO + \angle BAO = 180^\circ \] здесь, \( \angle BAO \) это 90°, тогда \[ \angle AOB + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] \[ \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] --- ### Шаг 5: Теперь используем косинус для нахождения \( R \) В треугольнике \( OAB \): \[ OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2 \cdot OA \cdot AB \cdot \cos \angle OAB \] Но есть более удобное решение: Поскольку есть прямой угол \( A \), то в треугольнике \( OAB \): \[ AB = R \cdot \tan \angle OAB \] (так как в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \( R \), и прилежащим к углу \( \angle OAB \), тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета \( AB \) к прилежащему \( OA = R \)). Но так как у нас \( \angle OAB = 90^\circ \), это не подходит. Проведем иначе. --- ### Шаг 6: Упростим с помощью тригонометрии Рассмотрим треугольник \( OAB \) с известными сторонами и углами. Из них: \[ \cos \angle ABO = \frac{OB}{AB} \] Но у нас есть: \[ OB = 10\,\text{см} \] \[ \angle ABO = 30^\circ \] и, поскольку \( \angle ABO \) — это угол при \( B \), рассмотрим: \[ \sin 30^\circ = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} \] или \[ \cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \] --- ### Шаг 7: Важное уточнение Обратите внимание: касательная к окружности в точке \( A \) и центр \( O \) образуют угол, равный 90°, а радиус \( OA \) перпендикулярен касательной \( AB \). Если точка \( B \) — любая точка на касательной, то: - \( \angle OAB = 90^\circ \), - \( OB = 10\,\text{см} \), - \( \angle ABO = 30^\circ \). Треугольник \( OAB \) — прямоугольный, где: \[ \angle OAB = 90^\circ, \] и у нас есть гипотенуза \( OB = 10\,\text{см} \). Рассмотрим треугольник \( OAB \): - гипотенуза — \( OB \), - один из острых углов — \( 30^\circ \). В таком случае, отношение сторон: \[ AB = OB \cdot \sin 30^\circ = 10 \times 0,5 = 5\,\textсм} \] и \[ OA = R \] Выясним длину \( AB \) с помощью соотношений. --- ### Итог: Анализ Вправду, для прямого угла - угол \( OAB = 90^\circ \), мы можем использовать тригонометрию для треугольника \( OAB \): \[ \sin 30^\circ = \frac{AB}{OB} = \frac{AB}{10} \] \[ AB = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times 0.5 = 5\,\textсм} \] Так как \( AB \) — касательная, и \( A \) — точка касания, то: \[ OA \perp AB \] В прямоугольном треугольнике \( OAB \): \[ R = OA \] Рассмотрим треугольник \( OAB \): - \( OA \) — радиус, \( R \), - \( AB = 5\,\textсм} \), - \( OB = 10\,\textсм} \), - \( \angle AOB = 60^\circ \). Используем Закон Косинусов для \( \triangle OAB \): \[ OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2 \cdot OA \cdot AB \cdot \cos \angle AOB \] \[ 10^2 = R^2 + 5^2 - 2 \cdot R \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ \] \[ 100 = R^2 + 25 - 2 \cdot R \cdot 5 \times 0.5 \] \[ 100 = R^2 + 25 - (2 \cdot R \times 5 \times 0.5) = R^2 + 25 - 5 R \] \[ 100 - 25 = R^2 - 5 R \] \[ 75 = R^2 - 5 R \] Перенесем все в левую сторону: \[ R^2 - 5 R - 75 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ R = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-75)}}{2} \] \[ R = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 300}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{325}}{2} \] \[ \sqrt{325} \approx 18.03 \] Итак, \[ R \approx \frac{5 \pm 18.03}{2} \] Смотрим положительный вариант: \[ R \approx \frac{5 + 18.03}{2} = \frac{23.03}{2} \approx 11.52\,\textсм} \] Положительный радиус — это единственный смысловой вариант. --- ### **Ответ:** **Радиус окружности примерно \( \boxed{11.5\,\text{см}} \).**