Дана прямоугольная трапеция abcd в которую вписана окружность радиусом 7 см сторона ac равна 18

Давайте разберём задачу по шагам. Нам дана прямоугольная трапеция \(ABCD\), в которую вписана окружность радиусом 7 см, а сторона \(AC\) равна 18 см. Требуется понять (подробное решение). ### Шаг 1. Важные свойства вписанной окружности трапеции Чтобы окружность могла быть вписана в трапецию, она должна касаться всех четырёх сторон. Но не все трапеции позволяют это. **Ключевое условие:** Вписанная окружность возможна только в трапецию, которая является равнобокой — то есть её боковые стороны равны, а сумма оснований равна сумме боковых сторон. Но, более важно: **Трапеция, в которую можно вписать окружность, является равнобокой и у неё сумма оснований равна сумме боковых сторон.** ### Шаг 2. Анализ условий Нам дана: - Радиус окружности \(r = 7\) см - Диагональ \(AC = 18\) см Поскольку \(AC\) — диагональ, а не основание или боковая сторона, то в каком виде у нас трапеция? Определим, что угол между диагональю \(AC\) и сторонами есть дальше. ### Шаг 3. Построение и обозначение Обозначим: - \(AB\) и \(DC\) — основания трапеции - \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны Для прямоугольной трапеции есть угол 90°, что подразумевает, что одна пара сторон — горизонтальные или вертикальные. Допустим, трапеция прямоугольная: тогда, например, \(AB\) — горизонтальная сторона, а \(AD\) — вертикальная. Обозначим: - \(AB=a\) - \(DC=b\) - \(AD=h\) - \(BC=h\) (так как трапеция прямоугольная, боковые стороны равны, поскольку она равнобокая) ### Шаг 4. Свойство вписанной окружности и прямоугольной трапеции Для вписанной окружности в трапецию выполняется: \[ a + b = 2h \] Также радиус окружности связан с её вписанной площадью \(S\) и полупериметром \(p\): \[ r = \frac{S}{p} \] где \[ p = \frac{a + b + 2h}{2} \] Площадь трапеции: \[ S = \frac{a+b}{2} \times h \] Подставляя радиус: \[ 7 = \frac{\frac{a+b}{2} \times h}{\frac{a + b + 2h}{2}} = \frac{(a + b)h/2}{(a + b + 2h)/2} \] Упростим: \[ 7 = \frac{(a + b)h}{a + b + 2h} \] ### Шаг 5. Используем равенство \(a + b = 2h\) Заметим, что из свойства вписанной окружности: \[ a + b = 2h \] Тогда выражение: \[ 7 = \frac{(a + b)h}{a + b + 2h} = \frac{2h \times h}{2h + 2h} = \frac{2h^2}{4h} = \frac{h}{2} \] Следовательно: \[ h = 14 \text{ см} \] ### Шаг 6. Весьма важно! Поскольку у нас есть \(h = 14\) см, и из ранее \(a + b = 2h = 28\) см, то сумма оснований равна 28 см. Также по условию диагональ \(AC = 18\) см. ### Шаг 7. Рассмотрение диагонали Диагональ \(AC\): - Из точки \(A\) проведём сопротивление до точки \(C\). Обозначим координаты: - Пусть \(A\) в точке \((0,0)\), - \(B\) — \((a,0)\), - \(D\) — \((0,h)\), - \(C\) — \((b,h)\). Диагональ \(AC\): \[ AC^2 = (b - 0)^2 + (h - 0)^2 = b^2 + h^2 \] Дано: \(AC = 18\) \[ b^2 + 14^2 = 18^2 \] \[ b^2 + 196 = 324 \] \[ b^2 = 128 \] \[ b = \sqrt{128} = 8 \sqrt{2} \approx 11.31 \text{ см} \] Так как \(a + b = 28\), то: \[ a = 28 - b \approx 28 - 11.31 = 16.69 \text{ см} \] ### Шаг 8. Итоги Обозначения и основные параметры: - Основание \(AB \approx 16.69\) см - Основание \(DC \approx 11.31\) см - Высота \(h = 14\) см - Диагональ \(AC = 18\) см - Радиус окружности \(\boxed{7 \text{ см}}\) --- ## Итог - Вписанная окружность радиусом 7 см подтверждает, что высота трапеции равна 14 см. - Размеры оснований: около 16.69 см и 11.31 см. - Диагональ \(AC\) равна 18 см, что согласуется с вычисленными. Если нужна более подробная проверка или рисунок — могу помочь в этом.