Вычислите (-√14/5) -³

Давайте разберём задачу: Вычислить выражение: \(\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^{-3}\). --- ### Шаг 1: Понимание отрицательной степени – В общем случае, \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). – То есть, отрицательная степень означает взятие обратного числа с положительной степенью. Наш выражение: \(\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^{-3}\) равно: \[ \frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3} \] --- ### Шаг 2: Возведение в степень \(-3\) Вычислим \(\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3\): \[ \left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 = \left(-1 \times \frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 \] По свойствам степеней: \[ (-1)^3 \times \left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 \] – Так как \((-1)^3 = -1\): \[ -1 \times \left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 \] Теперь нужно возвести в степень \(\left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3\): \[ \left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 = \frac{\left(\sqrt{14}\right)^3}{5^3} \] --- ### Шаг 3: Вычисление \(\left(\sqrt{14}\right)^3\) \(\left(\sqrt{14}\right)^3 = (\sqrt{14})^2 \times \sqrt{14}\) – \((\sqrt{14})^2 = 14\), – значит: \[ 14 \times \sqrt{14} \] Итак: \[ \left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 = \frac{14 \sqrt{14}}{125} \] Обратно к нашему выражению: \[ \left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 = - \frac{14 \sqrt{14}}{125} \] --- ### Шаг 4: Обратное значение (учитываем отрицательную степень) Наш исходный материал — это: \[ \left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3} \] Подставляем полученное значение: \[ = \frac{1}{-\frac{14 \sqrt{14}}{125}} = - \frac{125}{14 \sqrt{14}} \] --- ### Итоговое выражение \[ \boxed{ \left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^{-3} = - \frac{125}{14 \sqrt{14}} } \] --- ### Дополнительный шаг: рационализация (по желанию) Если нужно избавиться от иррациональных знаменателей, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{14}\): \[ - \frac{125}{14 \sqrt{14}} \times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = - \frac{125 \sqrt{14}}{14 \times 14} = - \frac{125 \sqrt{14}}{196} \] ***Ответ:*** \[ \boxed{ - \frac{125 \sqrt{14}}{196} } \] Это — упрощённый и рационализированный ответ.