Вычислите (-√14/5) -³
Давайте разберём задачу:
Вычислить выражение: \(\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^{-3}\).
Шаг 1: Понимание отрицательной степени
– В общем случае, \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
– То есть, отрицательная степень означает взятие обратного числа с положительной степенью.
Наш выражение: \(\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^{-3}\)
равно:
\[ \frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3} \]
Шаг 2: Возведение в степень \(-3\)
Вычислим \(\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3\):
\[ \left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 = \left(-1 \times \frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 \]
По свойствам степеней:
\[ (-1)^3 \times \left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 \]
– Так как \((-1)^3 = -1\):
\[ -1 \times \left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 \]
Теперь нужно возвести в степень \(\left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3\):
\[ \left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 = \frac{\left(\sqrt{14}\right)^3}{5^3} \]
Шаг 3: Вычисление \(\left(\sqrt{14}\right)^3\)
\(\left(\sqrt{14}\right)^3 = (\sqrt{14})^2 \times \sqrt{14}\)
– \((\sqrt{14})^2 = 14\), – значит:
\[ 14 \times \sqrt{14} \]
Итак:
\[ \left(\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 = \frac{14 \sqrt{14}}{125} \]
Обратно к нашему выражению:
\[ \left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3 = - \frac{14 \sqrt{14}}{125} \]
Шаг 4: Обратное значение (учитываем отрицательную степень)
Наш исходный материал — это:
\[ \left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^3} \]
Подставляем полученное значение:
\[ = \frac{1}{-\frac{14 \sqrt{14}}{125}} = - \frac{125}{14 \sqrt{14}} \]
Итоговое выражение
\[ \boxed{ \left(-\frac{\sqrt{14}}{5}\right)^{-3} = - \frac{125}{14 \sqrt{14}} } \]
Дополнительный шаг: рационализация (по желанию)
Если нужно избавиться от иррациональных знаменателей, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{14}\):
\[ - \frac{125}{14 \sqrt{14}} \times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = - \frac{125 \sqrt{14}}{14 \times 14} = - \frac{125 \sqrt{14}}{196} \]
Ответ:
\[ \boxed{ - \frac{125 \sqrt{14}}{196} } \]
Это — упрощённый и рационализированный ответ.
