Давайте поэтапно решим задачу и найдём координаты точки пересечения отрезков ( AB ) и ( CD ).
Шаг 1: Запишем координаты заданных точек:
- ( A(2; -1) )
- ( B(-1; -4) )
- ( C(2; -4) )
- ( D(-4; -1) )
Шаг 2: Обозначим уравнения отрезков
Для этого найдём уравнения прямых, на которых лежат отрезки ( AB ) и ( CD ).
Шаг 3: Уравнение прямой ( AB )
Найдем наклон (коэффициент (k)):
[
k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - (-1)}{-1 - 2} = \frac{-4 + 1}{-1 - 2} = \frac{-3}{-3} = 1
]
Значит, наклон равен 1.
Общий вид уравнения прямой:
[
y = kx + b
]
Подставим точку (A(2; -1)):
[
-1 = 1 \times 2 + b \Rightarrow -1 = 2 + b \Rightarrow b = -3
]
Уравнение прямой (AB):
[
\boxed{y = x - 3}
]
Шаг 4: Уравнение прямой ( CD )
Лагом наклон:
[
k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - (-4)}{-4 - 2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}
]
Подставим точку ( C(2; -4) ) в уравнение:
[
-4 = -\frac{1}{2} \times 2 + b \Rightarrow -4 = -1 + b \Rightarrow b = -3
]
Уравнение прямой (CD):
[
\boxed{y = -\frac{1}{2}x - 3}
]
Шаг 5: Найдём точку пересечения
Решаем систему уравнений:
[
\begin{cases}
y = x - 3 \
y = -\frac{1}{2}x - 3
\end{cases}
]
Приравниваем правые части:
[
x - 3 = -\frac{1}{2}x - 3
]
Добавим (3) к обеим частям:
[
x = -\frac{1}{2}x
]
Перенесём все с (x):
[
x + \frac{1}{2}x = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}x = 0 \Rightarrow x = 0
]
Подставим (x=0) в любое уравнение:
[
y = 0 - 3 = -3
]
Итог: точка пересечения
[
\boxed{(0; -3)}
]
Шаг 6: Проверка на вхождение в отрезки
Точка ( (0, -3) ) лежит между (x) значениями отрезка (AB): (2) и (-1) — не входит в диапазон ([ -1, 2 ]) (т.к. следить нужно за отрезками, а не за прямыми, и точка должна лежать внутри интервала).
Для (AB):
(A(2, -1)), (B(-1, -4))
Проверим, находится ли (x=0) между -1 и 2: да, так как (-1 < 0 < 2).
Теперь проверим (y). Значение (y) при (x=0):
[
y = 0 - 3 = -3
]
точка ( (0, -3) ) между (A) и (B):
(A(2, -1)) и (B(-1, -4))
(x) лежит между -1 и 2, а (y) между (-1) и (-4)?
Нет — (y=-3) между (-1) и (-4)?
(-4 < -3 < -1), да. Значит, точка лежит на отрезке (AB).
Аналогично для (CD):
(C(2; -4)), (D(-4; -1)).
Проверим, есть ли точка с (x=0) между (-4) и (2), — да.
(y = -\frac{1}{2} \times 0 - 3 = -3).
Значения (y) у точек (C) и (D):
(C(2, -4)) (y = -4),
(D(-4, -1)) (y = -1),
( -4 < -3 < -1), доверяем, значит, точка также лежит на отрезке (CD).
Итог:
Координаты точки пересечения отрезков (AB) и (CD):
[
\boxed{(0; -3)}
]
Если есть необходимость, я подготовлю ответ по числам в полях!
