Построй у себя в тетради координатную плоскость и отметь на ней точки A ( 2 ; − 1 ) A(2;−1) , B ( − 1 ; − 4 ) B(−1;−4) , C ( 2 ; − 4 ) C(2;−4) и D ( − 4 ; − 1 ) D(−4;−1) . Найди…

Давайте поэтапно решим задачу и найдём координаты точки пересечения отрезков \( AB \) и \( CD \).

Шаг 1: Запишем координаты заданных точек:

• \( A(2; -1) \)
• \( B(-1; -4) \)
• \( C(2; -4) \)
• \( D(-4; -1) \)

Шаг 2: Обозначим уравнения отрезков

Для этого найдём уравнения прямых, на которых лежат отрезки \( AB \) и \( CD \).

---

Шаг 3: Уравнение прямой \( AB \)

Найдем наклон (коэффициент \(k\)):

\[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - (-1)}{-1 - 2} = \frac{-4 + 1}{-1 - 2} = \frac{-3}{-3} = 1 \]

Значит, наклон равен 1.

Общий вид уравнения прямой:

\[ y = kx + b \]

Подставим точку \(A(2; -1)\):

\[ -1 = 1 \times 2 + b \Rightarrow -1 = 2 + b \Rightarrow b = -3 \]

Уравнение прямой \(AB\):

\[ \boxed{y = x - 3} \]

---

Шаг 4: Уравнение прямой \( CD \)

Лагом наклон:

\[ k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - (-4)}{-4 - 2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} \]

Подставим точку \( C(2; -4) \) в уравнение:

\[ -4 = -\frac{1}{2} \times 2 + b \Rightarrow -4 = -1 + b \Rightarrow b = -3 \]

Уравнение прямой \(CD\):

\[ \boxed{y = -\frac{1}{2}x - 3} \]

---

Шаг 5: Найдём точку пересечения

Решаем систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x - 3 \\ y = -\frac{1}{2}x - 3 \end{cases} \]

Приравниваем правые части:

\[ x - 3 = -\frac{1}{2}x - 3 \]

Добавим \(3\) к обеим частям:

\[ x = -\frac{1}{2}x \]

Перенесём все с \(x\):

\[ x + \frac{1}{2}x = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

Подставим \(x=0\) в любое уравнение:

\[ y = 0 - 3 = -3 \]

Итог: точка пересечения

\[ \boxed{(0; -3)} \]

---

Шаг 6: Проверка на вхождение в отрезки

• Точка \( (0, -3) \) лежит между \(x\) значениями отрезка \(AB\): \(2\) и \(-1\) — не входит в диапазон \([ -1, 2 ]\) (т.к. следить нужно за отрезками, а не за прямыми, и точка должна лежать внутри интервала).

• Для \(AB\):

  \(A(2, -1)\), \(B(-1, -4)\)

  Проверим, находится ли \(x=0\) между -1 и 2: да, так как \(-1 < 0 < 2\).

  Теперь проверим \(y\). Значение \(y\) при \(x=0\):

  \[ y = 0 - 3 = -3 \]

  точка \( (0, -3) \) между \(A\) и \(B\):

  • \(A(2, -1)\) и \(B(-1, -4)\)

  • \(x\) лежит между -1 и 2, а \(y\) между \(-1\) и \(-4\)?
    Нет — \(y=-3\) между \(-1\) и \(-4\)?

  • \(-4 < -3 < -1\), да. Значит, точка лежит на отрезке \(AB\).

• Аналогично для \(CD\):

  \(C(2; -4)\), \(D(-4; -1)\).

  • Проверим, есть ли точка с \(x=0\) между \(-4\) и \(2\), — да.

  • \(y = -\frac{1}{2} \times 0 - 3 = -3\).

  • Значения \(y\) у точек \(C\) и \(D\):

    • \(C(2, -4)\) (y = -4),

    • \(D(-4, -1)\) (y = -1),

  • \( -4 < -3 < -1\), доверяем, значит, точка также лежит на отрезке \(CD\).

Итог:

Координаты точки пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\):

\[ \boxed{(0; -3)} \]

Если есть необходимость, я подготовлю ответ по числам в полях!