В коробке лежат три диска. Обе стороны первого цвета апельсина, второго — цвета мя коти грейпфрута, а у третьего одна сторона апельсиновая, а другая грейпфрутовая. Из ко- робки достают диск и показывают одну из сто- рон. Вам нужно угадать цвет обратной сторо- ны. Найдите вероятности успеха называть по- переменно то апельсиновый, то грейпфруто- вый цвет.

Рассмотрим задачу подробно. **Дано:** В коробке лежат 3 диска: 1. Первый диск — обе стороны апельсинового цвета. 2. Второй диск — обе стороны грейпфрутового цвета. 3. Третий диск — одна сторона апельсиновая, другая грейпфрутовая. Достанут один диск случайно (каждый с равной вероятностью), покажут одну сторону. Задача — угадать, какой цвет будет на обратной стороне, выбирая либо апельсиновый, либо грейпфрутовый цвет, при этом учитывая, что угадать можно и "апельсиновый", и "грейпфрутовый". --- ### Шаг 1. Вероятности выбора диска и показа стороны Всего дисков: 3. Каждый диск выбирается с вероятность \( \frac{1}{3} \). Теперь рассмотрим каждую сторону, которая может быть показана. --- ### Шаг 2. Вероятности показать каждую сторону с каждого диска **Диск 1:** обе стороны апельсиновые. - Вероятность показать апельсиновую сторону: 1 (так как обе стороны апельсиновые). - Итак, вероятность показать апельсиновую сторону, выбрав его: \( \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3} \). **Диск 2:** обе стороны грейпфрутовые. - Вероятность показать грейпфрутовую сторону: 1. - Вероятность показать грейпфрутовую сторону, выбрав его: \( \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3} \). **Диск 3:** одна сторона апельсиновая, другая грейпфрутовая. - Вероятность показать апельсиновую сторону: \( \frac{1}{2} \), поскольку 2 стороны, одна из которых апельсиновая. - Вероятность показать грейпфрутовую сторону: также \( \frac{1}{2} \). Так что, вероятности появления сторон у каждого диска: | Диск | Вариант | Вероятность выбора и показа стороны | |--------|------------------------------------------ | 1 | апельсиновая сторона | \( \frac{1}{3} \) (диск выбран) \( \times 1 \) (сторона показана) = \( \frac{1}{3} \)| | 2 | грейпфрутовая сторона | \( \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3} \) | | 3 | апельсиновая сторона | \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \) | | 3 | грейпфрутовая сторона | \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \) | Общая сумма: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1 \). Всё верно. --- ### Шаг 3. Вероятности увидеть каждую сторону Теперь определим, каковы вероятности появления каждой стороны, объединяя все диски: - **Апельсиновая сторона:** - Диск 1 (оба апельсиновых): вероятность показать апельсиновую сторону: \( \frac{1}{3} \). - Диск 3 (одна сторона апельсиновая): вероятность показать апельсиновую сторону: \( \frac{1}{6} \). Итоговая вероятность показать апельсиновую сторону: \[ P(\text{апельсиновая}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] - **Грейпфрутовая сторона:** - Диск 2 (оба грейпфрутных): вероятность показать грейпфрутовую сторону: \( \frac{1}{3} \). - Диск 3 (одна сторона грейпфрутовая): вероятность показать грейпфрутовую сторону: \( \frac{1}{6} \). Итоговая вероятность: \[ P(\text{грейпфрутовая}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Итого: вероятность увидеть апельсиновую или грейпфрутовую сторону равна \( \frac{1}{2} \). --- ### Шаг 4. Условные вероятности, что обратная сторона какого цвета, исходя из выбранной стороны Если нам показывают апельсиновую сторону, то какая вероятность, что обратная — грейпфрутовая, и наоборот? Рассмотрим для каждой стороны: **Если показана апельсиновая сторона:** - Вероятность, что это диск 1 (оба апельсиновы): тогда обратная сторона тоже апельсиновая. Вероятность: \( P(\text{диск 1} | \text{апельсиновая}) \). - Вероятность, что это диск 3 — апельсиновая сторона: тогда обратная — грейпфрутовая. Рассчитаем: \[ P(\text{диск 1} | \text{апельсиновая}) = \frac{P(\text{диск 1 и показывает апельсиновую})}{P(\text{апельсиновая})} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \] \[ P(\text{диск 3 — апельсиновая сторона} | \text{апельсиновая}) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \] Тогда: - Обратная сторона грейпфрутовая, если диск — 3 (апельсиновая сторона): вероятность \( \frac{1}{3} \). - Обратная сторона апельсиновая, если диск — 1: вероятность \( \frac{2}{3} \). Итак: - **Если показана апельсиновая сторона, вероятность, что обратная сторона грейпфрутовая:** \( \frac{1}{3} \). - **Если показана апельсиновая сторона, вероятность, что обратная сторона апельсиновая:** \( \frac{2}{3} \). --- **Аналогично для грейпфрутовой стороны:** - Вероятность, что это диск 2: тогда обратная — грейпфрутовая. - Вероятность, что это диск 3 — грейпфрутовая сторона: тогда обратная — апельсиновая. Рассчитаем: \[ P(\text{диск 2} | \text{грейпфрутовая}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \] \[ P(\text{диск 3 — грейпфрутовая сторона} | \text{грейпфрутовая})= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \] Тогда: - Обратная сторона апельсиновая — диск 3: вероятность \( \frac{1}{3} \). - Обратная сторона грейпфрутовая — диск 2: вероятность \( \frac{2}{3} \). --- ### **Итоговые вероятности:** | Показываемая сторона | Вероятность показать апельсиновую сторону | Вероятность показать грейпфрутовую сторону | |----------------------|--------------------------------|----------------------------------| | Апельсиновая | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | | Грейпфрутовая | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | **Обратная сторона:** - **Если показана апельсиновая сторона:** - Вероятность, что обратная — апельсиновая: \( \frac{2}{3} \) - Вероятность, что обратная — грейпфрутовая: \( \frac{1}{3} \) - **Если показана грейпфрутовая сторона:** - Вероятность, что обратная — грейпфрутовая: \( \frac{2}{3} \) - Вероятность, что обратная — апельсиновая: \( \frac{1}{3} \) --- ### **Ответ:** 1. **Если вы угадаете, что обратная сторона апельсиновая:** - При показе апельсиновой стороны вероятность успеха: \( \frac{2}{3} \) - При показе грейпфрутовой стороны вероятность успеха, что обратная — апельсин: \( \frac{1}{3} \) 2. **Если вы угадаете, что обратная сторона грейпфрутовая:** - При показе апельсиновой стороны: вероятность успеха — \( \frac{1}{3} \) - При показе грейпфрутовой стороны: вероятность успеха — \( \frac{2}{3} \) --- Если нужно выбрать стратегию, чтобы максимизировать вероятность успеха, лучше угадывать "апельсиновая" при показе апельсиновой стороны, и "грейпфрутовая" при показе грейпфрутовой. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно уточнение — скажите!