3. При каких значениях переменной х выполняется двойное неравество 2<2x²-5x+2<4?

Давайте решим задачу по шагам. Нам нужно найти все значения переменной \( x \), при которых выполняется двойное неравенство: \[ 2 < 2x^2 - 5x + 2 < 4 \] ### Шаг 1. Разделим двойное неравенство на два отдельных неравенства: 1. \( 2x^2 - 5x + 2 > 2 \) 2. \( 2x^2 - 5x + 2 < 4 \) Решим каждое из них отдельно. --- ### Шаг 2. Первое неравенство: \( 2x^2 - 5x + 2 > 2 \) Перенесем 2 в левую сторону: \[ 2x^2 - 5x + 2 - 2 > 0 \] \[ 2x^2 - 5x > 0 \] Рассмотрим факторизацию: Будем делить обе части на 1, чтобы видеть факторы, или сразу вынесем общий множитель: \[ x(2x - 5) > 0 \] Теперь определим знаки произведения \( x(2x - 5) \): Знаковые точки — корни уравнения \( x = 0 \) и \( 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} \). Рассмотрим знак произведения на интервалах, разбитых этими точками: - \( (-\infty, 0) \) - \( (0, \frac{5}{2}) \) - \( (\frac{5}{2}, +\infty) \) Подставим тестовые точки: - \( x = -1 \): \[ (-1)(2(-1) - 5) = -1 \times (-2 - 5) = -1 \times (-7) = 7 > 0 \] - \( x = 1 \): \[ 1 \times (2 \times 1 - 5) = 1 \times (2 - 5) = 1 \times (-3) = -3 < 0 \] - \( x = 3 \): \[ 3 \times (6 - 5) = 3 \times 1 = 3 > 0 \] Значит, произведение положительно на интервалах: \[ (-\infty, 0) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \] Итак, первая часть решения: \[ x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \] --- ### Шаг 3. Второе неравенство: \( 2x^2 - 5x + 2 < 4 \) Переносим 4 в левую сторону: \[ 2x^2 - 5x + 2 - 4 < 0 \] \[ 2x^2 - 5x - 2 < 0 \] Рассмотрим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения: \[ 2x^2 - 5x - 2 = 0 \] Используем формулу корней: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 2 \times (-2)}}{2 \times 2} \] Вычисляем дискриминант: \[ D = 25 - 4 \times 2 \times (-2) = 25 + 16 = 41 \] Тогда корни: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{4} \] Обозначим: \[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \] Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положителен (2 > 0), парабола будет направлена вверх. Значит, неравество \( 2x^2 - 5x - 2 < 0 \) выполняется на интервале между корнями: \[ x \in \left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) \] --- ### Шаг 4. Объединим результаты Чтобы значение \( x \) удовлетворяло обоим требованиям: \[ x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \] и \[ x \in \left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) \] Пересечение этих интервалов: - В интервале \( (-\infty, 0) \), нужно найти пересечение с \(\left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) \). Заметим, что: \[ \frac{5 - \sqrt{41}}{4} \approx \frac{5 - 6.4}{4} \approx \frac{-1.4}{4} \approx -0.35 \] и \[ \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \approx \frac{5 + 6.4}{4} \approx \frac{11.4}{4} \approx 2.85 \] Поскольку \( -0.35 > -\infty \) и \( 0 > -0.35 \), пересечение с \( (-\infty, 0) \) — это: \[ \left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, 0 \right) \] - В интервале \( \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \), \(\frac{5}{2} = 2.5\), а верхняя граница — примерно 2.85, и так как \(2.5 < 2.85\), пересекается с промежутком между \(\frac{5 - \sqrt{41}}{4}\) и \(\frac{5 + \sqrt{41}}{4}\). Следовательно, пересечение с \( \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \) будет: \[ \left( \frac{5}{2}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x \in \left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, 0 \right) \cup \left( \frac{5}{2}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) } \] Это и есть все значения \( x \), при которых выполняется исходное двойное неравенство.