3. При каких значениях переменной х выполняется двойное неравество 2<2x²-5x+2<4?
Давайте решим задачу по шагам. Нам нужно найти все значения переменной \( x \), при которых выполняется двойное неравенство:
\[ 2 < 2x^2 - 5x + 2 < 4 \]
Шаг 1. Разделим двойное неравенство на два отдельных неравенства:
- \( 2x^2 - 5x + 2 > 2 \)
- \( 2x^2 - 5x + 2 < 4 \)
Решим каждое из них отдельно.
Шаг 2. Первое неравенство: \( 2x^2 - 5x + 2 > 2 \)
Перенесем 2 в левую сторону: \[ 2x^2 - 5x + 2 - 2 > 0 \] \[ 2x^2 - 5x > 0 \]
Рассмотрим факторизацию:
Будем делить обе части на 1, чтобы видеть факторы, или сразу вынесем общий множитель: \[ x(2x - 5) > 0 \]
Теперь определим знаки произведения \( x(2x - 5) \):
Знаковые точки — корни уравнения \( x = 0 \) и \( 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} \).
Рассмотрим знак произведения на интервалах, разбитых этими точками:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, \frac{5}{2}) \)
- \( (\frac{5}{2}, +\infty) \)
Подставим тестовые точки:
- \( x = -1 \): \[ (-1)(2(-1) - 5) = -1 \times (-2 - 5) = -1 \times (-7) = 7 > 0 \]
- \( x = 1 \): \[ 1 \times (2 \times 1 - 5) = 1 \times (2 - 5) = 1 \times (-3) = -3 < 0 \]
- \( x = 3 \): \[ 3 \times (6 - 5) = 3 \times 1 = 3 > 0 \]
Значит, произведение положительно на интервалах:
\[ (-\infty, 0) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \]
Итак, первая часть решения:
\[ x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \]
Шаг 3. Второе неравенство: \( 2x^2 - 5x + 2 < 4 \)
Переносим 4 в левую сторону: \[ 2x^2 - 5x + 2 - 4 < 0 \] \[ 2x^2 - 5x - 2 < 0 \]
Рассмотрим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения:
\[ 2x^2 - 5x - 2 = 0 \]
Используем формулу корней:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 2 \times (-2)}}{2 \times 2} \]
Вычисляем дискриминант:
\[ D = 25 - 4 \times 2 \times (-2) = 25 + 16 = 41 \]
Тогда корни:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{4} \]
Обозначим:
\[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \]
Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положителен (2 > 0), парабола будет направлена вверх. Значит, неравество \( 2x^2 - 5x - 2 < 0 \) выполняется на интервале между корнями:
\[ x \in \left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) \]
Шаг 4. Объединим результаты
Чтобы значение \( x \) удовлетворяло обоим требованиям:
\[ x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \] и \[ x \in \left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) \]
Пересечение этих интервалов:
- В интервале \( (-\infty, 0) \), нужно найти пересечение с \(\left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) \).
Заметим, что:
\[ \frac{5 - \sqrt{41}}{4} \approx \frac{5 - 6.4}{4} \approx \frac{-1.4}{4} \approx -0.35 \] и \[ \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \approx \frac{5 + 6.4}{4} \approx \frac{11.4}{4} \approx 2.85 \]
Поскольку \( -0.35 > -\infty \) и \( 0 > -0.35 \), пересечение с \( (-\infty, 0) \) — это:
\[ \left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, 0 \right) \]
- В интервале \( \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \), \(\frac{5}{2} = 2.5\), а верхняя граница — примерно 2.85, и так как \(2.5 < 2.85\), пересекается с промежутком между \(\frac{5 - \sqrt{41}}{4}\) и \(\frac{5 + \sqrt{41}}{4}\).
Следовательно, пересечение с \( \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) \) будет:
\[ \left( \frac{5}{2}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) \]
Ответ:
\[ \boxed{ x \in \left( \frac{5 - \sqrt{41}}{4}, 0 \right) \cup \left( \frac{5}{2}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right) } \]
Это и есть все значения \( x \), при которых выполняется исходное двойное неравенство.
