f(x)=x2-2x3+4x-1
Давайте разберём функцию \( f(x) = x^2 - 2x^3 + 4x - 1 \).
Я сделаю подробно, чтобы понять структуру функции и возможные её свойства.
1. Записаны исходные данные:
\[ f(x) = x^2 - 2x^3 + 4x - 1 \]
2. Приведение к наиболее удобной для анализа форме
Перепишем функцию по убыванию степеней: \[ f(x) = -2x^3 + x^2 + 4x - 1 \]
3. Найдём производную функции, чтобы определить её критические точки и анализировать поведение (минимумы, максимумы, точку перегиба).
Производная функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + x^2 + 4x - 1) \] посчитаем каждое слагаемое:
- производная \(-2x^3\) — \(\-6x^2\),
- производная \(x^2\) — \(2x\),
- производная \(4x\) — 4,
- производная \(-1\) — 0.
Итого: \[ f'(x) = -6x^2 + 2x + 4 \]
4. Решим уравнение критических точек:
\[ -6x^2 + 2x + 4 = 0 \]
Перенесём все в левую сторону: \[ -6x^2 + 2x + 4 = 0 \]
Для удобства умножим всю строку на \(-1\): \[ 6x^2 - 2x - 4 = 0 \]
Решим с помощью дискриминанта: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 4 - (-96) = 4 + 96 = 100 \]
Дискриминант D = 100 больше нуля, значит есть два real-решения:
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm 10}{12} \]
Рассчитаем каждое:
- \( x_1 = \frac{2 + 10}{12} = \frac{12}{12} = 1 \)
- \( x_2 = \frac{2 - 10}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3} \)
Критические точки: \( x = 1 \), и \( x = -\frac{2}{3} \).
5. Определим характер точек (минимум или максимум), посмотрев знак второй производной.
Вторая производная: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}f'(x) = \frac{d}{dx}(-6x^2 + 2x + 4) = -12x + 2 \]
Подставим значения критических точек:
для \(x = 1\): \[ f''(1) = -12 \cdot 1 + 2 = -12 + 2 = -10 < 0 \] Это означает, что в точке \(x=1\) функция\(f(x)\) достигает максимума.
для \(x = -\frac{2}{3}\): \[ f''\left(-\frac{2}{3}\right) = -12 \left(-\frac{2}{3}\right) + 2 = 8 + 2 = 10 > 0 \] Значит, в точке \(x = -\frac{2}{3}\) — минимум.
6. Найдём значения функции в этих критических точках:
- В точке \(x=1\):
\[ f(1) = -(2)(1)^3 + (1)^2 + 4 \cdot 1 - 1 = -2 + 1 + 4 - 1 = 2 \]
(подставляем в исходную функцию, внимательно):
Перепроверим исходное выражение: \[ f(1) = -2(1)^3 + (1)^2 + 4(1) - 1 = -2 + 1 + 4 -1= 2 \]
верно.
- В точке \(x=-\frac{2}{3}\):
\[ f\left(-\frac{2}{3}\right) = -2 \left(-\frac{2}{3}\right)^3 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \left(-\frac{2}{3}\right) - 1 \]
Вычислим по частям:
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27} \] \[ -2 \times -\frac{8}{27} = \frac{16}{27} \]
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
\[ 4 \times -\frac{2}{3} = -\frac{8}{3} \]
Теперь сложим всё:
\[ f\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{16}{27} + \frac{4}{9} - \frac{8}{3} - 1 \]
Приведём все к общему знаменателю 27:
\[ \frac{16}{27} + \frac{4}{9} - \frac{8}{3} - 1 = \frac{16}{27} + \frac{4 \times 3}{27} - \frac{8 \times 9}{27} - \frac{27}{27} \]
Это:
\[ \frac{16}{27} + \frac{12}{27} - \frac{72}{27} - \frac{27}{27} = \frac{16 + 12 - 72 - 27}{27} = \frac{28 - 99}{27} = \frac{-71}{27} \]
Итак,
\[ f\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{71}{27} \]
Итог:
- В точке \(x = 1\) — максимум, значение функции — \(f(1) = 2\).
- В точке \(x = -\frac{2}{3}\) — минимум, значение — \(\approx -\frac{71}{27} \approx -2.629\).
7. Общий вывод:
- Функция — кубическая, у неё есть один локальный максимум и один локальный минимум.
- Максимум при \(x=1\), при этом \(f(1)=2\).
- Минимум при \(x=-\frac{2}{3}\), при этом \(f\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{71}{27}\).
Если нужно, я могу помочь построить график или найти поведение функции на бесконечности. Хотите продолжить?
