1. Какое из уравнений является линейным с переменными a) 2x ^ 2 + 3x + 5 = 0 b) 3x + 2y + 1 = 0 c) 4x + 3 = 0 d) 8 + 4x = 0 e) 3x + 5x ^ 2 + 1 = 0 2. Запишите три различных…

Давайте подробно разберем каждый из вопросов, чтобы помочь вам понять решения.

---

Вариант 1

1. Какое из уравнений является линейным с переменными?

Линейное уравнение — это уравнение, в котором переменные имеют степень 1 и уравнение можно представить в виде суммы произведений переменных на числа, плюс константу.

Проверим каждое:

a) \( 2x^2 + 3x + 5 = 0 \): переменная \(x\) возведена в квадрат → не линейное.
b) \( 3x + 2y + 1 = 0 \): переменные в первой степени → линейное.
c) \( 4x + 3 = 0 \): переменная в первой степени → линейное.
d) \( 8 + 4x = 0 \): переменная в первой степени → линейное.
e) \( 3x + 5x^2 + 1 = 0 \): есть \(x^2\), не линейное.

Ответ: линииными являются уравнения b), c), d).

---

2. Запишите три различных решения уравнения \(2x + 7y = 10\).

Для этого выбираем разные значения \(x\) и находим соответствующие \(y\):

• Пусть \(x=0\):

\[ 2*0 + 7y=10 \Rightarrow 7y=10 \Rightarrow y=\frac{10}{7} \approx 1.43 \]

Первое решение: \((0,\frac{10}{7})\).

• Пусть \(x=1\):

\[ 2*1 + 7y=10 \Rightarrow 2 + 7y=10 \Rightarrow 7y=8 \Rightarrow y=\frac{8}{7} \approx 1.14 \]

Второе решение: \((1,\frac{8}{7})\).

• Пусть \(x=2\):

\[ 2*2 + 7y=10 \Rightarrow 4 + 7y=10 \Rightarrow 7y=6 \Rightarrow y=\frac{6}{7} \approx 0.86 \]

Третье решение: \((2,\frac{6}{7})\).

---

3. Решите системы уравнений:

а) способом подстановки:

\[ x - 2y=8 \quad (1) \] \[ 2x + y=1 \quad (2) \]

Выразим \(x\) из первого уравнения:

\[ x=8 + 2y \]

Подставим в уравнение (2):

\[ 2(8 + 2y) + y=1 \Rightarrow 16 + 4y + y=1 \Rightarrow 16 + 5y=1 \]

\[ 5y=1-16=-15 \Rightarrow y=-3 \]

Теперь найдём \(x\):

\[ x=8 + 2(-3)=8 -6=2 \]

Ответ: \((x,y)=(2,-3)\).

---

б) методом сложения:

\[ 4x + 9y=1 \quad (1) \] \[ 5x - 18y=-28 \quad (2) \]

Умножим уравнение (1) на 2:

\[ 8x + 18y=2 \]

Добавим к уравнению (2):

\[ 8x + 18y + 5x - 18y=2 - 28 \]

\[ (8x+5x)+(18y -18y)= -26 \]

\[ 13x=-26 \Rightarrow x=-2 \]

П substitute \(x=-2\) в \(4x + 9y=1\):

\[ 4*(-2)+9y=1 \Rightarrow -8 + 9y=1 \Rightarrow 9y=9 \Rightarrow y=1 \]

Ответ: \((x,y)=(-2,1)\).

---

4. Решите задачу (заготовка):

• Сумма двух чисел равна 28: \(x + y=28\).

• Разность равна 14: \(x - y=14\).

Решим систему:

\[ x + y=28 \quad (1) \] \[ x - y=14 \quad (2) \]

Сложим уравнения:

\[ (x + y) + (x - y) = 28 + 14 \Rightarrow 2x=42 \Rightarrow x=21 \]

Подставим в (1):

\[ 21 + y=28 \Rightarrow y=7 \]

Ответ: числа \(21\) и \(7\).

---

Вариант 2

1. Какое уравнение является линейным с двумя переменными?

Проверим каждое:

a) \(12x^2 - 3x + 6=0\): есть \(x^2\) — не линейное.
b) \(13x + y + 1=0\): оба в первой степени — линейное.
c) \(6x + 3=0\): только \(x\), тоже линейное.
d) \(4 + 4x=0\): только \(x\), линейное.
e) \(3x + x^2 + 1=0\): есть \(x^2\) — не линейное.

Ответ: линейными уравнениями являются b), c), d).

---

2. Запишите три различных решения уравнения \(4x + 3y=11\).

Подбираем значения для \(x\) и ищем \(y\):

• \(x=0\):

\[ 4*0+3y=11 \Rightarrow 3y=11 \Rightarrow y=\frac{11}{3} \]

Решение: \((0,\frac{11}{3})\).

• \(x=1\):

\[ 4*1+3y=11 \Rightarrow 4+3y=11 \Rightarrow 3y=7 \Rightarrow y=\frac{7}{3} \]

Решение: \((1,\frac{7}{3})\).

• \(x=2\):

\[ 4*2+3y=11 \Rightarrow 8+3y=11 \Rightarrow 3y=3 \Rightarrow y=1 \]

Решение: \((2,1)\).

---

3. Решите системы уравнений:

а) способом подстановки:

\[ y - x=-5 \Rightarrow y=x-5 \] \[ 4x + y=10 \]

Подставим \(y=x-5\):

\[ 4x + (x-5)=10 \Rightarrow 4x + x -5=10 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3 \] \[ y=3-5=-2 \]

Ответ: \((3,-2)\).

---

б) способом сложения:

\[ x + 2y - 5=0 \quad \Rightarrow x + 2y=5 \] \[ 3x - 2y + 17=0 \quad \Rightarrow 3x - 2y=-17 \]

Сложим эти два уравнения:

\[ (x + 2y) + (3x - 2y)=5 + (-17) \] \[ x + 3x + 2y - 2y= -12 \] \[ 4x=-12 \Rightarrow x=-3 \]

Подставим \(x=-3\) обратно в \(x + 2y=5\):

\[ -3 + 2y=5 \Rightarrow 2y=8 \Rightarrow y=4 \]

Ответ: \((-3,4)\).

---

4. Решите задачу (заготовка):

• Пусть первое число — \(x\), второе — \(y\).

• Из условия: сумма равна 58:

\[ x + y=58 \]

• Первое число на 8 больше второго:

\[ x = y +8 \]

Подставим в первое уравнение:

\[ (y+8)+ y=58 \Rightarrow 2y+8=58 \Rightarrow 2y=50 \Rightarrow y=25 \] \[ x=25+8=33 \]

Ответ: числа \(33\) и \(25\).

---

Если нужно что-то объяснить подробнее или есть вопросы, с удовольствием помогу!