Реши
Контрольная работа
по теме: «Правильные многоугольники» « Вписанные и описанные окружности»
Вариант №
1) На рисунке 1 изображены окружности, в которые вписаны или около которых описаны правильные многоугольники. Даны длины некоторых отрезков:
a) AO=24см, HO=?
б) АВ=22см, МО=?
в) ТО=9см, КО==?
г) АС=12см. АВ=?
Рис.1.
2)Радиус описанной окружности около квадрата ABCD равен 12см (R=12см).
Найдите: а) периметр квадрата (Р);
б) площадь квадрата (S);
b) радиус вписанной окружности (r). (Рис.2.)
Рис. 2.
3) Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник АВС равен 2см (r=2см).
б) площадь треугольника АВС (S);
Найдите: а) периметр треугольника АВС (Р);
Рис. 3.
в) радиус описанной окружности около треугольника АВС (R), (Рис.3.)
4) Радиус вписанной окружности в квадрат В1B2B3B4 равен бсм (г-бсм). Найдите: а) периметр правильного шестиугольника A A2A3A4A5A6 (P);
б) площадь правильного шестиугольника A1A2A3A4AsA6 (S). Рис. 4.
Решение по теме «Правильные многоугольники» и «Вписанные и описанные окружности» включает разные задачи. Ниже я подробно объясню каждую задачу по порядку.
---
**Задача 1. Окружности и многоугольники**
Вам дан рисунок (предположительно), в котором изображены окружности и многоугольники, вписанные или описанные вокруг них. Даны некоторые отрезки, требуется найти неизвестные.
**а) AO = 24 см, HO = ?**
- Здесь нужно выяснить, что за точки A и O, а также что представляет собой точка H. Обычно в подобных задачах точка O — центр окружности или многоугольника, а AO — радиус или стороны.
- Если AO — радиус окружности, и источник задачи подразумевает, что HO — длина другого отрезка, связанного с данной конфигурацией, то для решения необходимо знать или предположить дополнительные связи или свойства.
**Подход к решению:**
- По условию, AO — радиус окружности, равный 24 см.
- Чтобы найти HO, нужно понять, как эта точка связана с окружностью или многоугольником.
- Если HO — хорда, касательная, или расстояние между точками, то понадобятся дополнительные сведения или построения.
- В задаче обычно такие параметры связаны через радиус и свойства многоугольника:
- Для правильных многоугольников:
- Углы, расстояния между центром и вершинами, свойства вписанных и описанных окружностей.
*Поскольку изображение и доп. данные отсутствуют, я объясню общий подход:*
- Определенные линии (AO, HO) могут быть связаны через радиусы, центры и свойства многоугольника.
- Вписанный многоугольник: радиус вписанной окружности \(r\) связан с длиной стороны и количеством сторон через формулы.
- Описанный многоугольник: радиус описанной окружности \(R\) связан с длиной стороны, апофемой, и углами.
---
**б) АВ=22 см, МО= ?**
- Аналогично. Если АВ — сторона многоугольника, а М — центр или точка касания.
- Тогда МО может быть радиус или расстояние до центра.
---
**в) ТО=9 см, КО= ?**
- ТО — возможно, радиус или сторона, КО — другая длина, связанная с окружностью или многоугольником.
---
**г) АС=12 см, АВ= ?**
- АС — сторона или радиус, АВ — тоже сторона.
- Если для правильного многоугольника:
- Вписанный радиус \(r\) связан со стороной \(a\) и количеством сторон \(n\) через формулу:
\[
a = 2r \tan{\frac{\pi}{n}}
\]
- Или, для описанного радиуса \(R\):
\[
a = 2 R \sin{\frac{\pi}{n}}
\]
---
**Задача 2. Радиус окружности вокруг квадрата**
Дано: радиус описанной окружности квадрата \( R = 12\, \text{см} \).
**а) Периметр квадрата \( P \)**
- Связь между радиусом окружности и сторонами квадрата:
- Радиус описанной окружности квадрата равен полуторости диагонали:
\[
R = \frac{d}{2}
\]
- Диагональ квадрата:
\[
d = a \sqrt{2}
\]
- Тогда:
\[
R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R \sqrt{2}
\]
- Подставляем \( R=12\, \text{см} \):
\[
a = 12 \times \sqrt{2} \approx 12 \times 1.414 = 16.97\, \text{см}
\]
- Периметр квадрата:
\[
P = 4a \approx 4 \times 16.97 \approx 67.88\, \text{см}
\]
**б) Площадь квадрата \( S \)**
-
\[
S = a^2 \approx (16.97)^2 \approx 288\, \text{см}^2
\]
**в) Радиус вписанной окружности \( r \)**
- Вписанная окружность касается всех сторон.
- Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны:
\[
r = \frac{a}{2} \approx \frac{16.97}{2} \approx 8.49\, \text{см}
\]
---
**Задача 3. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника**
Дано: \( r = 2\, \textсм \).
**а) Периметр треугольника \( P \)**
- Связь между радиусом вписанной окружности \( r \) и стороной равностороннего треугольника \( a \):
\[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2 r \sqrt{3}
\]
- Подставляем \( r=2 \):
\[
a = 2 \times 2 \times \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 = 6.928\, \text{см}
\]
- Периметр:
\[
P = 3a \approx 3 \times 6.928 \approx 20.784\, \text{см}
\]
**б) Площадь треугольника \( S \)**
- Формула площади равностороннего треугольника:
\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]
- Подставляем \( a \approx 6.928 \):
\[
S \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \times (6.928)^2 \approx 0.433 \times 47.99 \approx 20.8\, \text{см}^2
\]
**в) Радиус описанной окружности \( R \)**
- Для равностороннего треугольника:
\[
R = 2r
\]
- Тогда:
\[
R = 2 \times 2 = 4\, \textсм
\]
---
**Задача 4. Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника**
Дано: \( r = 3\, \textсм \).
**а) Периметр \( P \)**
- Связь между радиусом вписанной окружности и стороной \( a \):
\[
r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{2r}{\sqrt{3}} \approx \frac{2 \times 3}{1.732} \approx 3.464\, \textсм
\]
- Периметр:
\[
P = 6a \approx 6 \times 3.464 \approx 20.78\, \textсм
\]
**б) Площадь \( S \)**
- Площадь правильного шестиугольника:
\[
S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2
\]
- Подставляем \( a \):
\[
S \approx \frac{3 \times 1.732}{2} \times (3.464)^2 \approx 2.598 \times 12 \approx 31.18\, \textсм^2
\]
---
Если у вас есть изображения или дополнительные данные, я могу составить более точное решение для конкретных задач. Надеюсь, это объяснение поможет вам понять подход к решению таких задач!
