Даны три утверждения:
А: число
x
x отрицательное;
B: число
x
x положительное;
C: число
x
5
x
5
положительное.
Какое высказывание истинно при любом значении
x
x?
A
→
С
A→С
B
→
С
B→С
C
→
A
C→A
Рассмотрим каждое утверждение и их связи, исходя из условий:
- А: число \(x\) отрицательное
- B: число \(x\) положительное
- C: число \(x^5\) положительное
Обратим внимание на свойства чисел и их возводения в степень:
1. Если \(x\) отрицательное (\(A\)), то что происходит с \(x^5\)?
- Возведение отрицательного числа в нечетную степень (а 5 — нечетная степень) даёт отрицательное число.
- Значит, если \(A\), то \(x^5\) тоже отрицательное.
- Следовательно, при \(A\): \(x^5 \lt 0\).
2. Если \(x\) положительное (\(B\)), то:
- Возведение положительного числа в любую степень даёт положительное число.
- Значит, при \(B\): \(x^5 \gt 0\).
3. Если \(x^5\) положительное (\(C\)), то:
- Анализируем, при каких условиях \(x^5 \gt 0\):
- Если \(x\) положительное, то \(x^5\) тоже положительное.
- Если \(x\) отрицательное, то \(x^5\) отрицательное.
- Таким образом, \(C\) не даёт однозначной информации о знаке \(x\).
Теперь рассмотрим каждое из предложенных высказываний:
### 1. \(A \rightarrow C\)
- Предположим, что \(A\): \(x\) отрицательное.
- Из предыдущего анализа: \(x^5\) будет отрицательным.
- Тогда \(C\) — \(x^5\) положительное — ЛОЖНО при \(A\).
- Значит, \(A \rightarrow C\) — не всегда истинно, потому что при \(A\), \(C\) — ложно.
- Следовательно, **вывод: утверждение \(A \rightarrow C\) — НЕ истинно**.
### 2. \(B \rightarrow C\)
- Предположим, что \(B\): \(x\) положительное.
- Тогда \(x^5\) — тоже положительное (\(C\)), потому что положительное в любой степени остаётся положительным.
- Значит, при \(B\) \(x^5\) обязательно положительно, т.е. \(C\) — истинно.
- Следовательно, **утверждение: \(B \rightarrow C\) — истинно**.
### 3. \(C \rightarrow A\)
- Предположим, что \(C\): \(x^5\) положительное.
- Что это говорит о \(x\)?
- Только о том, что \(x\) неотрицательное или положительное, ведь \(x^5 \gt 0\) при \(x \gt 0\).
- Но отрицательное число (например, \(-1\)) в пятой степени даст \(-1\), что не соответствует \(C\).
- Следовательно, при \(C\) \(x\) обязательно положительное.
- Тогда \(x\) — положительное, и \(A\) (отрицательное \(x\)) — ЛОЖНО при \(C\).
- Таким образом, \(C \rightarrow A\) — НЕверно, потому что когда \(C\) истинно, \(A\) — ложно.
---
### Итог:
- \(A \rightarrow C\) — не всегда истинно,
- \(B \rightarrow C\) — всегда истинно,
- \(C \rightarrow A\) — не всегда истинно.
**Правильный ответ:**
**B → C**
